Математическая модель динамики взаимодействия внешней упругой геометрически нелинейной оболочки с тонким слоем вязкой жидкости при пульсации давления

УДК 517.2

Поволжский институт управления имени –

филиала ФГБОУ ВО «Российская академия

народного хозяйства и государственной службы

при Президенте РФ»

Россия, Саратов

Заведующий кафедрой прикладной информатики

и информационных технологий в управлении

E-mail: *****@***ru

Поволжский институт управления имени –

филиала ФГБОУ ВО «Российская академия

народного хозяйства и государственной службы

при Президенте РФ»

Россия, Саратов

аспирант

E-mail: *****@***ru

Поволжский институт управления имени –

филиала ФГБОУ ВО «Российская академия

народного хозяйства и государственной службы

при Президенте РФ»

Россия, Саратов

аспирант

E-mail: dd. *****@***com

Саратовский государственный университет

имени

Россия, Саратов

Доцент кафедры математической кибернетики

и компьютерных наук

E-mail: *****@***ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВНЕШНЕЙ УПРУГОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКИ С ТОНКИМ СЛОЕМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ПУЛЬСАЦИИ ДАВЛЕНИЯ

Представлена постановка математической модели механической системы, представляющая собой трубу кольцевого профиля, образованную двумя поверхностями соосных цилиндрических оболочек, взаимодействующими с пульсирующим тонким слоем вязкой несжимаемой жидкости, внешняя из которых является геометрически нелинейной, а внутренняя – абсолютно жесткий цилиндр. Выполнено при поддержке грантов РФФИ 13-01-00049-а, 15-01-01604-а.

Ключевые слова: гидроупругость, геометрически нелинейная оболочка, вязкая несжимаемая жидкость, соосные оболочки, пульсация давления.

Kulikova Svetlana Aleksandrovna

Stolypin Volga Region Institute Russian Academy

of Public Administration under the President

of the Russian Federation

Russia, Saratov

graduate student

E-mail: *****@***ru

Kondratov Dmitry Vyacheslavovich

Stolypin Volga Region Institute Russian Academy

of Public Administration under the President

of the Russian Federation

Russia, Saratov

chief of The Department of Applied informatics

and information technology in management

E-mail: *****@***ru

Starostin Dmitry Dmitrievich

Stolypin Volga Region Institute Russian Academy

of Public Administration under the President

of the Russian Federation

Russia, Saratov

graduate student

E-mail: dd. *****@***com

Kondratova Julia Nikolaevna

Saratov State University

Russia, Saratov

Docent of the Department of Mathematical

Cybernetics and Computer Science

E-mail: *****@***ru

MATHEMATICAL MODEL OF DYNAMICS OF INTERACTION OF EXTERNAL ELASTIC GEOMETRICALLY NONLINEAR SHELL WITH A THIN LAYER OF VISCOUS LIQUID IN PRESSURE PULSATION

Presented formulation of the mathematical model of the mechanical system, which is a pipe of circular profile formed by the two surfaces of coaxial cylindrical shells interacting with pulsating thin layer of a viscous incompressible fluid, the outer of which is geometrically nonlinear, and internal - absolutely rigid cylinder. It is executed at a support of the grants of the RFFI 13-01-00049-а, 15-01-01604-а.

Key words: hydroelasticity, geometrically nonlinear shell, viscous incompressible liquid, coaxial shell, pulsating pressure.

Элементы конструкции с перемещающимися соосными цилиндрическими составляющими, в которых использована вязкая несжимаемая жидкость с целью уменьшения трения, а также охлаждения при взаимодействии цилиндрических оболочек широко применяются в автомобильном и авиационном транспорте [1-3]. Такие конструкции могут состоять из гладких [4-6], геометрически нерегулярных [7, 8] и геометрически нелинейных соосных оболочек. Для исследования изменений при взаимодействии геометрически нелинейной внешней оболочки с слоем вязкой несжимаемой жидкости с учётом пульсирующего давления постоим следующую механическую модель (Рис. 1).

Рис. 1. Механическая модель системы.

Механическая модель системы состоит из соосных цилиндрических оболочек: внешняя 1 – геометрически нелинейная упругая цилиндрическая с внутренним радиусом , абсолютно жёсткий цилиндр – внутренняя оболочка 2 с внешним радиусом , с упругой несжимаемой жидкостью 3 между оболочек 1 и 2. Оболочки свободно опираются на концах. Радиальный зазор цилиндрической щели . Отсутствует перемещение внутренней оболочки относительно внешней на торцах. Система термостабилизирована. На концах системы приложено гармонически изменяющееся давление

Для описания поведения данной механической системы необходимо описать движение тонкого пульсирующего слоя жидкости и движение упругой геометрически нелинейной оболочки. Для описания движения тонкого пульсирующего слоя жидкости будем использовать уравнение Навье-Стокса и уравнение неразрывности, а для описания движения геометрически нелинейной цилиндрической оболочки – основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява уравнения динамики внешней геометрически нелинейной цилиндрической оболочки. Кроме того, представим граничные условия для жидкости – условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек и условия перепада давления на концах механической системы, а для оболочки – условия свободного описания. Так как, на систему действует перепад давления только на концах, то постановку задачи гидроупругости определять в осесимметричном случае.

Тогда уравнениями динамики жидкости в цилиндрической системе координат в осесимметричном случае будет иметь вид [2-6]:

,

, (1)

.

Здесь – компоненты вектора скорости жидкости; – плотность жидкости; – кинематический коэффициент вязкости; – координата вдоль оси симметрии ; r – расстояние от оси ; t – время.

Граничные условия условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек и условия перепада давления на концах механической системы запишутся в виде:

, при ;

, при ,

при , при , (2)

где – прогиб оболочки; – продольное перемещение оболочки.

Уравнения динамики геометрически нелинейной оболочки, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, для осесимметричного случая запишем в виде: