Количественные методы в экономических исследованиях
Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности экономики и управления
Покупка
Издательство:
ЮНИТИ-ДАНА
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 678
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-238-02331-1
Артикул: 057396.05.99
Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных методов. Изложен широкий круг проблем и методов классического математического анализа, линейной алгебры, математического программирования, теории игр, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и нечетких множеств. Разнообразные примеры и задачи иллюстрируют применение рассмотренных методов. Представленные разделы относятся к циклу фундаментальных математических дисциплин, изучение которых является обязательным для подготовки специалистов в области экономики. Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических факультетов университетов и экономических вузов, экономистов, научных работников.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Количественные методы в экономических исследованиях
�оличественные методы в экономических исследованиях Под редакцией доктора экономических наук, профессора М.В. Грачевой, доктора экономических наук, профессора Ю.Н. Черемных, кандидата экономических наук, доцента Е.А. Тумановой Второе издание, переработанное и дополненное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (080100) Рекомендовано Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (080100) Соответствует Федеральным государственным образовательным стандартам третьего поколения ю н и т и UNITY Москва • 2017
�ДК 330.43(075.8) ББК 65в6я73 К60 Рецензенты: д-р экон. наук, проф. К.В. Папенов (зав. кафедрой экономики природопользования экономического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова) д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Гаврилец (зав. лабораторией «Математическая социология» ЦЭМИ РАН) Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники Количественные методы в экономических исследованиях: К60 учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / Под ред. М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных, ЕА Тумановой. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2017. — 687 с. ISBN 978-5-238-02331-1 Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных методов. Изложен широкий круг проблем и методов классического математического анализа, линейной алгебры, математического программирования, теории игр, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и нечетких множеств. Разнообразные примеры и задачи иллюстрируют применение рассмотренных методов. Представленные разделы относятся к циклу фундаментальных математических дисциплин, изучение которых является обязательным для подготовки специалистов в области экономики. Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических факультетов университетов и экономических вузов, экономистов, научных работников. ББК 65в6я73 ISBN 978-5-238-02331-1 © ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2004, 2013 Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания (ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.). Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в какой-либо форме, в том числе в интернет-сети, запрещается без письменного разрешения издательства. © Оформление «ЮНИТИ-ДАНА», 2013
50-летию кафедры математических методов анализа Экономического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова посвящается От авторов Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных методов. Термин «количественный» означает, что речь идет о тех математических методах, которые применяются для описания и анализа вычисляемых (а не абстрактных) моделей экономики, решения которых могут быть доведены до конкретной числовой формы. Вычисляемые модели экономики отличаются от абстрактных тем, что параметры и экзогенные переменные первых (в отличие от вторых) формируются на базе реальных (или экспертных) данных. Абстрактные модели могут быть только теоретическими, вычисляемые — как прикладными, так и теоретическими. В учебнике изложен широкий круг проблем классического математического анализа, линейного и выпуклого программирования, теории игр, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов. Особое внимание уделено геометрическим иллюстрациям и экономическим приложениям. Элементы математического анализа, линейного и выпуклого программирования относят к циклу фундаментальных математических дисциплин, изучение которых обязательно для студентов экономических факультетов государственных университетов. Они интересны и сами по себе, так как являются основой математической культуры, необходимой современному экономисту, занимающемуся как теоретическими, так и прикладными проблемами. Материал, включенный авторами в главы 1—4, традиционный: элементы теории неявных функций, классические методы оптимизации, симплексный метод решения задач линейного программирования и его обоснование, теория двойственности, транспортная задача, выпуклое программирование и элементы теории штрафных функций. В главе 5, посвященной теории игр, излагается математическая сторона вопроса и обсуждаются экономические приложения. Рассмотрены основные вопросы теории матричных и биматричных игр: решения в чистых и смешанных стратегиях, теорема Неймана, связь с линейным программированием, равновесие по Нэшу, эффективность по Парето, широко используются геометрические методы. В главах 6—9, посвященных теории вероятностей и математической статистике, уделяется внимание специфике вероятностно-статистического способа рассуждений. Учебник направлен на формирование и развитие профессиональных компетенций в области прикладного экономического анализа. В результате изучения теоретической составляющей учебника студенты будут знать: • постановку и решение основных задач математического анализа, математического программирования и теории игр, вероятностностатистических методов и моделей; • современные проблемы, подходы и методы статистического исследования экономических процессов.
В результате освоения представленных в учебнике методов и моделей студенты будут уметь: • формулировать и обосновывать выводы исследования, проведенного с помощью математических методов; • интерпретировать решения, полученные с помощью рассматриваемых методов и моделей, в терминах исходной содержательной (экономической) задачи. • формулировать теоретико-игровую модель конфликтной ситуации; • решать вероятностно-статистические задачи вычислительного и аналитического характера для экономических приложений; • определить стабильность эконометрических оценок, проверив их состоятельность и эффективность; проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения и прогнозировать результат принятого решения; После изучения представленных материалов студенты будут владеть: • навыками логических построений; методологией математического анализа; • навыками работы с функциями, описывающими экономические явления; основными методами исследования функций на экстремумы; • приемами и способами обработки экономической информации с помощью современных экономико-математических методов; • методами нахождения и анализа оптимальных решений в задачах различного типа; • навыками количественного анализа и выбора наиболее эффективных из них для исследования экономических данных; • методами разработки вариантов управленческих решений и обоснования их выбора с учетом проведенных аналитических расчетов и использования количественных методов анализа данных; • навыками интерпретации результатов моделирования и формулировки качественных выводов на основе проведенных количественных расчетов. В учебнике изложены классические разделы математических курсов, которые авторы читают на Экономическом факультете Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова: глава 1 — д-р экон. наук, проф. Ю.Н Черемных (п. 1.1—1.4) ст. препод. А.А. Любкин (п. 1.5) глава 2 — д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 2.1—2.5) ст. препод. А.А. Любкин (п. 2.6) глава 3 — канд. экон. наук, ассист. Я.А. Рощина (п. 3.1; 3.3.3) д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 3.2; 3.4) канд. экон. наук, доц. Б.Ф. Пахомов (п. 3.3.1; 3.3.2) канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.П. Оревков (п. 3.5) канд. экон. наук, доц. Б.Э. Слепак (п. 3.6) глава 4 — д-р физ.-мат. наук, проф. Е.Г. Белоусов глава 5 — канд. экон. наук, доц. А.Ю. Челноков (п. 5.1; 5,7; 5.8) д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 5.2—5.6) глава 6 — канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Н. Фадеева канд. экон. наук, ассист. Я.А. Рощина глава 7 — канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Н. Фадеева глава 8 — канд. экон. наук, доц. Е.Н. Лукаш глава 9 — д-р экон. наук, проф. М.Б. Грачева
Элементы математического анализа Глава 1 Элементы математического анализа Глава 2 Классические методы оптимизации
Элементы математического анализа 1.1. Основы теории множеств 1.1.1. Основные понятия теории множеств Понятия «множество» и «элемент множества» относятся к начальным понятиям, которые строго не определяются, а поясняются примерами. Можно говорить о множестве жилых домов в поселке, множестве товаров данной партии, поступившей в магазин для продажи, о множестве точек данной прямой. «Под множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно единое целое с помощью некоторого закона» (Г. Кантор, создатель теории бесконечных множеств). Предметы, составляющие множество, называются его элементами . Множества принято обозначать большими буквами (M, A, B , ...), а их элементы — малыми буквами (m , a , b, ...). То, что некоторый объект m является элементом множества M, записывается « m еM » и читается « m принадлежит М ». То, что объект z не является элементом множества M, записывается как « z i M» и читается « z не принадлежит М ». Если объекты m , n , p , q , ... составляют множество M, то это записывается так: M = {m, n, p, q,...}. Множество может быть задано в виде списка составляющих его элементов, т.е. путем перечисления его элементов. Список может быть как конечным (например, такой список {mi, m2, m3, m4}), так и бесконечным: а) множество студентов конкретной учебной группы (их фамилии действительно составляют список); б) множество всех пальто, сданных посетителями театра в гардероб (список таких пальто может быть составлен); в) множество цифр десятичной системы счисления M = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
. Элементы математического анализа и линейной алгебры 7 г) множество всех натуральных чисел от 1 до числа к включительно: Nₖ = {1, 2, ..., k}; д) множество всех натуральных чисел N = {1,2, 3,... n,...}; е) множество всех целых чисел Z — {0, -1,1, -2, 2,...}; ж) множество всех рациональных чисел f 11 22 11 33 22 1 Q — з0, — 1,1, —, —, —, —, —, —, —, —, —, —, •••? [ 22 11 33 11 22 J (если при выписывании элементов набора Q появляются дро би (например, _2 2 — — 2 1, — — 1), которые уже встречались ра нее, то они либо вычеркиваются, либо на самом деле не выписываются) ; з) множество гусей (а не уток), плавающих в деревенском пруду. Замечание. Напомним, что рациональным числом r называется p p число вида — (т.е. r ——), где p е Z , q е N. Множество всех ра-q q циональных чисел обозначается символом Q. Дроби r1 — —, Г2 — —, где -p¹- — несократимая дробь, а p2 — ар₁, q1 q 2 q1 q 2 — а q1 (целое число а не равно нулю), равны между собой и изображают одно и то же рациональное число. Поэтому далее под рациональным числом r — — понимается только несократимая дробь. q Список элементов множества Q (т.е. список всех рациональных чисел) можно составить следующим образом. Сначала выписываем множество всех натуральных чисел так, что каждое натуральное число имеет знаменатель, равный единице: 12 3 n 1 1’ 7 "’ 1’ ". Затем так, чтобы каждое натуральное число имело знаменатель, равный двум: 1 2_ 2 n _ , _ , _ , , _ , 222 2
I. Элементы математического анализа и т.д. Получим следующую таблицу (матрицу) с бесконечным числом строк и столбцов. 1 2. 3 4- 5 п 1 1 1 1 1 '” т 11 5 n 2 1 2 1 2 '" 2 Т 2 з 45 n 3 3 3 3 3 '” 3 1 1 1 1 1 n k k k k k k В этой таблице оставим только несократимые дроби, а все сократимые дроби уберем (например, вычеркнем). Очевидно, любой элемент новой таблицы есть положительное рациональное число. Наоборот, любое положительное рациональное число обязательно присутствует в новой таблице в виде несократимой дроби. Составим бесконечный список из элементов новой таблицы по следующей схеме: Поставив в этот список пе ред каждым положительным рациональным числом это же число со знаком минус и добавив нуль, получим полный список элементов множества Q: Q = р, -1,1, 11 2 2 -- - — - - 2’2’ 1’1 т.е. полный список всех рацио нальных чисел. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным, в противном случае — бесконечным. В примерах а—г приведены конечные множества, в примерах д—ж — бесконечные множества. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом « 0 ». Пусть A и M — два множества, и пусть все элементы множества A являются элементами множества M, тогда множество A называется подмножеством (или частью) множества M, что записывается так: A с M и читается «A включено в M ». В частности, если m е M, то {т\с M. Множество M является своим подмножеством:
. Элементы математического анализа и линейной алгебры 9 M с M. Пустое множество 0 и множество M называются несобственными подмножествами множества M, все остальные подмножества множества M называются собственными. Множество всех подмножеств множества M обозначается символом 2м. Символ 2м введен по аналогии с числом 2ⁿ всех подмножеств множества Nₙ — {1, ..., n}. Множества A и B называются равными, если A с B и B с A. Равенство множеств обозначается так: A — B. Если B с M и B ф M, то используют следующую запись: B с M. 1.1.2. Операции над множествами Объединением (суммой) множеств A и B называется множество C (обозначаемое символом A U B), состоящее из всех тех эле ментов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B (def), . (рис. 1.1.1): C — A U B — {x|x е A v x е B}. Символ «v » означает союз «или», который понимается в соединительно-разделительном смысле. В общем случае объединение совокупности множеств Ai (i е I, где I — некоторое множество (конечное или бесконечное) индексов) есть множество C (обозначаемое символом U Ai), состоя-i е! щее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Ai (i е I ). C - A и B Рис. 1.1.1 Символ «и» — это стилизованная буква U (от англ. union — союз, объединение). Пересечением двух множеств A и B называется множество C (обозначаемое символом A n B), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств A и B. Другими словами, пересечение множеств A и B — это общая часть этих множеств (рис. 1.1.2): (def) C — A n B — {x|x е A л x е B}. Символ « л » означает союз «и». C — A n B Рис. 1.1.2