Функции комплексной переменной, ряды и операционное исчисление

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г.



К.В. ТИТОВ
Н.Д. ГОРЕЛОВ



            ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, РЯДЫ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ПРИМЕРОВ В WOLFRAM MATHEMATICA



    УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ



znanium.com

Москва РИОР ИНФРА-М



�ДК 004.4(075.8)
ББК 32.97я73
     Т45

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке  
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

      Автор:
      Титов К.В. — канд. техн. наук, почетный работник высшего профессионального образования, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 54 научных работ по прикладной математике и двух книг по встраиванию компьютерных технологий в образование;
      Горелов Н.Д. — магистр МГТУ им. Н.Э. Баумана
      Рецензенты:
      Пархоменко В.П. — канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий сектором вычислительного центра Российской академии наук;
      Гриценко С.А. — д-р физ.-мат. наук, профессор МГУ им. М.В. Ломоносова


       Титов К.В., Горелов Н.Д.
Т45 Функции комплексной переменной, ряды и операционное исчисление: Компьютерные технологии решения задач и примеров в Wolfram Mathematica : учеб. пособие / К.В. Титов, Н.Д. Горелов. — М. : РИОР : ИНФРА-М, 2019. — (Высшее образование). — 238 с. — https://doi.org/10.12737/25089
          ISBN 978-5-369-01677-0 (РИОР)
          ISBN 978-5-16-012848-1 (ИНФРА-М, print)
          ISBN 978-5-16-105087-3 (ИНФРА-М, online)
          Компьютерные технологии решения задач математического анализа в системе компьютерной математики (СКМ) Mathematica являются важной компонентой в образовании, нацеленной на более глубокое и эффективное изучение предмета на современном уровне.
          Все задачи в учебном пособии решаются в СКМ Mathematica с необходимыми комментариями и кратким описанием применяемых для вычислений опций. Решение каждой задачи построено как обучающая программа в той алгоритмической последовательности, которая в полной мере отвечает методам решения подобных задач. После этого, как правило, следует обобщение решаемого класса задач и записывается программный модуль под решение уже любой задачи из этого класса.
          Предназначено студентам вузов, обучающихся по математическим специальностям и направлениям подготовки (бакалавриат, специалитет, магистратура). Также может быть полезно аспирантам, преподавателям и специалистам, интересующимся компьютерной математикой.


УДК 004.4(075.8)
                                                         ББК 32.97я73





ISBN 978-5-369-01677-0 (РИОР)
ISBN 978-5-16-012848-1 (ИНФРА-М, print)                 © Титов К.В.,
ISBN 978-5-16-105087-3 (ИНФРА-М, online)                   Горелов Н.Д.



�редисловие
  Более 15 лет один из авторов (К.В. Титов) использует компьютерные технологии в учебном процессе, проводя семинарские занятия и читая лекции в МГТУ им. Н.Э. Баумана студентам, а также преподавателям на факультете повышения квалификации. Этому направлению посвящены многочисленные публикации, методические пособия и выпущенные в последнее время две книги [1]и[2]. Кроме этого, на персональной странице www.bmstu.ru/ps/~kvtitov, образовательный ресурс которой постоянно пополняется и совершенствуется, представлены все необходимые материалы и элементы внедрения компьютерных технологий в учебный процесс в интерактивном режиме. Надо сказать, что вышеперечисленные пособия и соответствующие им компьютерные технологии выстраивались под такие системы компьютерной математики (СКМ) как Mathcad, Maple и Matlab. Однако в последнее время всё большее значение и популярность у студентов приобретает СКМ Wolfram Mathematica [8]. Именно поэтому книга «Функции комплексной переменной, ряды и операционное исчисление: компьютерные технологии решения задач и примеров в Wolfram Mathematical, посвященная важнейшему разделу математики, представлена в компьютерном изложении в среде Mathematica. В этом смысле книга является продолжением предыдущих двух книг [1], [2] в части использования компьютерных технологий в образовании.
  Большинство решений задач, многие из которых взяты из [3], сопровождается графической иллюстрацией, в том числе трехмерной, имеющей возможность анимирования, что наилучшим образом раскрывает методы и принципы того, как работает математический аппарат.
  Предполагается, что читатель этой книги знаком с указанной здесь СКМ хотя бы в общих чертах. Если знание интерфейса СКМ недостаточно, то рекомендуется посмотреть имеющуюся в достаточном количестве соответствующую литературу и пополнить эти знания. Однако в любом случае изложение приводимых в книге задач дано настолько подробно, насколько это необходимо для их решения в СКМ и

3



�од силу любому неискушенному в этих вопросах пользователю. Книга ориентирована на студентов, преподавателей и всех кому интересны инновационные технологии в образовании.
  Авторы выражают благодарность рецензентам, взявшим на себя труд прочитать и сделать ряд конструктивных замечаний, а также читателям, которые посчитают возможным отправить свои замечания и предложения по адресу e-mail: kvtito@mail.ru.



�ведение
  Инновационные образовательные технологии в фундаментальном образовании, и в особенности в таком его важнейшем разделе как математика, немыслимы без систем компьютерной математики.
  В настоящее время практически вся математика представлена в электронном виде в таких математических системах, как MathCAD, Maple, Mathematica, MATLAB и др. Эти системы имеют достаточно простой пользовательский интерфейс и внутренний язык математического моделирования, что делает их привлекательными и незаменимыми в решении математических задач. Они позволяют вести не только численные высокоточные расчеты, но и символьные преобразования, которые особенно важны в аналитических расчетах.
  СКМ имеют тысячи встроенных и библиотечных функций и прекрасные возможности графической визуализации вычислений, в том числе трехмерной.
  Особенно велико значение математических систем в образовании. Высокий «интеллект» систем символьной математики объединяется в них с хорошими средствами математического численного моделирования и возможностями графической визуализации решений. Применение таких систем в образовании способствует повышению фундаментальности математического образования и отвечает современным европейским стандартам. Многолетний опыт по использованию СКМ в учебном процессе позволяет сделать следующие выводы.
  Встраивание СКМ в лекционные и семинарские занятия повышает уровень усвоения знаний студентами.
В создаваемой таким образом информационной среде, к которой студент уже адаптирован со школьной скамьи при работе на компьютере, с элементами творческой и игровой ситуации, процесс обучения идет гораздо быстрее и эффективнее. У студента создается некое ощущение того, что он находится в виртуальной научной лаборатории и проводит исследования, что очень важно для самоутверждения и, в конечном счете, для повышения КПД обучаемого.

5



 Другим очень важным при обучении студента стимулом является понимание того, что владение компьютером есть стратегически важный момент в дальнейшем карьерном росте студента. Поэтому студент охотно принимает все предложения преподавателя по использованию современных вычислительных систем, ориентированных на численные методы расчетов и математическое моделирование с возможностью проведения многих операций символьной математики, для выполнения типового расчета, анализа полученных результатов и непосредственной их визуализации на экране дисплея. Так как «рутинная» работа на компьютере выполняется практически мгновенно, у студента появляется дополнительный ресурс времени на осмысление и более глубокое понимание полученных результатов расчета.
  Важным моментом является математическая формулировка задачи и ее понимание. Синтаксис и семантика записываемых студентом математических «фраз» в среде СКМ не допускают неоднозначного толкования условий задачи. Поэтому без глубокого понимания математической модели ее смысла и содержания (математических формулировок), а именно к этому обязывает программирование в системах компьютерной алгебры, студент не сможет правильно и однозначно сформулировать и решить поставленную перед ним задачу. Таким образом, возникает обратная связь в процессе обучения студента, заставляющая его проникнуть как можно глубже в суть математической модели и практически лучше понять работу математического аппарата.
  Созданные методические пособия [5], [6], [7], [10] и выстраиваемая таким образом методика обучения, обязывают студентов пользоваться не только печатными изданиями, но и их электронными версиями, имеющими гиперссылки, «живую» трехмерную графику, где все примеры «работают» (их можно просматривать с различными исходными данными, задаваемыми самими студентами). Кроме этого, студенты могут представить динамику полученных решений в виде анимационных клипов. СКМ интегрированы между собой и с Интернет, что позволяет преподавателю создавать свои образовательные сайты, а студенту - размещать выполненные

6



�иповые расчеты для их защиты в режиме форума или любом другом формате общения с преподавателем (вебинары, режимы «вопрос - ответ» on-line или off-line и др.).
  Размещаемые преподавателем на образовательных сайтах электронные версии пособий, что очень важно, формируют у студентов основные навыки дистанционного обучения. Безусловно, всё это делает студента более разносторонним и повышает уровень его образования.
  В книге практически нет теорем и их доказательств, а есть задачи из курса математического анализа и их программное решение в среде СКМ, причем решения, как правило, представляются в виде анимационных клипов. Пользовательский интерфейс СКМ имеет простое и понятные для математика синтаксис и семантику, практически совпадающие с написанием тех формул, которые преподаватель пишет на доске мелом. Ход рассуждений и их последовательность при решении задачи также просто записываются в виде программы в среде СКМ. Таким образом, СКМ, обладая такими неоспоримыми достоинствами как интегрирование с Интернетом и простой язык формульных математических записей, становятся эффективными инструментами в компьютерных образовательных технологиях.
  СКМ представляет пользователю как минимум две возможности: воспользоваться штатным программным обеспечением (ШПО, которое «зашито» в компьютере и труднодоступно пользователю) для решения задачи или самому записать (смоделировать) алгоритм решения. Конечно, во втором случае эффект обучения намного выше, чем в первом. Поэтому в книге все задачи имеют свои так называемые обучающие алгоритмы решения задач, которые можно отнести к процессу моделирования решения (ПМР). И лишь в справочном режиме, там, где это необходимо, используется ШПО для получения справки или сравнения и подтверждения результатов ПМР. Надо отметить, что алгоритмы решения задач могут быть модифицированы пользователем по его усмотрению и с привнесением творческих элементов. Наличие ШПО делает СКМ

7



�ощнейшей справочной системой, которая позволяет получить практически мгновенно ответ по решению многочисленных задач либо численный, либо символьный, что освобождает пользователя от необходимости искать эти решения в справочниках по математике. Именно эта особенность СКМ Mathematica так привлекательна и востребована студентами, и игнорировать ее невозможно.
  Компьютерные технологии решения задач математического анализа в СКМ Mathematica являются важной компонентой в образовании, нацеленной на более глубокое и эффективное изучение предмета на современном уровне.
  Структурирование книги практически совпадает с последовательностью изложения классического курса математического анализа. Книга содержит задачи по теории функций комплексной переменной, рядам и их приложениям, в том числе рядам Фурье, операционному исчислению. Условия многих задач и примеров взяты из сборника задач [3], в котором еще в 1980-е гг. студентам предлагалось решать задачи в виде составления программ на фортране, что также можно рассматривать как попытку внедрения компьютерных технологий в процесс обучения. Сборник задач [3] не потерял свою актуальность и сегодня - по нему учатся в вузах, в том числе студенты МГТУ им. Н.Э. Баумана. Можно предположить, что при наличии в то время таких СКМ, как Mathematica охват решаемых задач [3] в среде СКМ был бы гораздо шире, приближаясь к 100%. Именно это и послужило основанием написать книгу, в которой предлагалось бы студентам решать задачи по заявленной теме в среде Mathematica.
  Ссылки на задачи из [3], решаемые в среде Wolfram Mathematica, структурно выглядят так: вначале указывается номер Сборника задач из списка Литературы, т.е. [3], а потом - номер этой задачи из [3]. При этом номер задачи из [3] может не совпадать с параграфом, пунктом (подпунктом) ее решения в данной книге. Так как в основном ссылки идут на задачи из [3], то источник [3] по умолчанию будет опускаться, если иное иное не будет специально оговорено.

8



 Для лучшего понимания методов решения задач пособие содержит краткие теоретические сведения. Все задачи решаются в СКМ Wolfram Mathematica с необходимыми комментариями и кратким описанием применяемых для вычислений опций. Если опция встречается первый раз, то дается ее описание, и уже в дальнейшем она считается известной читателю. Решение каждой задачи построено как обучающая программа в той алгоритмической последовательности, которая в полной мере отвечает (следует) методам решения подобных задач, после чего, как правило, следует обобщение решаемого класса задач и записывается программный модуль под решение уже любой задачи из этого класса, что дает возможность читателю освободиться от рутинных вычислений и сосредоточиться на анализе получаемых решений. Читатель (пользователь, обучаемый студент и т.д.) в этом случае выступает в новом и очень важном качестве исследователя, причем такие программные модули решают задачи с достаточно высоким коэффициентом сложности, расширяющим класс задач в интерактивном режиме с графической иллюстрацией и анимацией решения. Такой подход связан с созданием электронных ресурсов www.bmstu.ru/ps/~kvtitov в образовании, их методическим насыщением [4, 9, 11, 12, 14-17] и встраиванием СКМ в образовательные технологии вуза.
  Пособие предназначено студентам вузов, обучающихся по математическим специальностям и направлениям подготовки (бакалавриат, специалитет, магистратура). Также может быть полезно аспирантам, преподавателям и специалистам, интересующимся компьютерной математикой.
  Такой, условно говоря, сборник задач по математике в компьютерном изложении ориентирован в первую очередь на студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана. Отличительной особенностью предлагаемой к изданию книги, например, от сборника задач [3], по которому сейчас учатся студенты, является следующее:
  1)   решение всех задач можно вести в интерактивном режиме с графической иллюстрацией 2D и 3D, создавая при необходимости видеоклипы поучаемых решений;

9



 2)  ведется анализ получаемых решений в реальном времени;
  3)    обеспечивается создание пользовательских программных модулей решения задач подобного класса и его расширения;
  4)    возможно нахождение аналитических решений сложных математических и физических задач;
  5)  возможна работа в информационно-справочном режиме; ит.д.
  Кратко о содержании книги можно было бы сказать так: это знакомая и незнакомая математика. Знакомая по классическим учебникам и незнакомая в том изложении, которое дается в книге.