Теория вероятностей и случайные процессы
В подписке
Основная коллекция
Издательство:
Новосибирский государственный технический университет
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 238
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
Профессиональное образование
ISBN: 978-5-7782-2382-0
Артикул: 631553.01.99
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- Среднее профессиональное образование
- 09.02.01: Компьютерные системы и комплексы
- 09.02.03: Программирование в компьютерных системах
- 09.02.04: Информационные системы (по отраслям)
- 09.02.05: Прикладная информатика (по отраслям)
- 09.02.06: Сетевое и системное администрирование
- 09.02.07: Информационные системы и программирование
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 09.03.03: Прикладная информатика
- 09.03.04: Программная инженерия
- 11.03.02: Инфокоммуникационные технологии и системы связи
- 38.03.01: Экономика
- 45.03.04: Интеллектуальные системы в гуманитарной сфере
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- ВО - Специалитет
- 21.05.04: Горное дело
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.С. АРКАШОВ, А.П. КОВАЛЕВСКИЙ Теория вероятностей и случайные процессы Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов нематематических специальностей высших учебных заведений Новосибирск 2014
УДК 519.21 (075.8) А 822 Рецензенты: В. И. Лотов, д-р физ.-мат. наук, проф. НГУ, А. Г. Линус, д-р физ.-мат. наук, проф., К. А. Джафаров, канд. физ.-мат. наук, доцент Работа подготовлена на кафедре высшей математики для студентов II курса Аркашов Н. С. А 822 Теория вероятностей и случайные процессы: Учеб, пособие / Н. С. Аркашов, А. П. Ковалевский. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2014. - 238 с. ISBN 978-5-7782-2382-0 Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов II курса очного и заочного отделений всех направлений и специальностей, изучающих такие разделы высшей математики, как теория вероятностей и математическая статистика, в объеме семестрового курса. Пособие содержит типовой расчет. В приложениях даны таблицы вероятностных распределений. Все замечания по содержанию пособия просим передавать на кафедру высшей математики. Они будут с благодарностью приняты и учтены в следующих изданиях. УДК 519.21 (075.8) ISBN 978-5-7782-2382-0 © © Аркашов Н. С., Ковалевский А. П., 2014 Новосибирский государственный технический университет, 2014
Оглавление Глава 1. Случайный эксперимент, события 7 §1.1 События, операции над событиями................. 7 § 1.2 Решение типовых примеров........................ 9 §1.3 Задачи для самостоятельного решения............ 10 Глава 2. Классическая вероятность 12 § 2.1 Классическое определение вероятности........... 12 § 2.2 Элементы комбинаторики......................... 13 § 2.3 Решение типовых примеров....................... 19 § 2.4 Задачи для самостоятельного решения............ 20 Глава 3. Геометрическая вероятность 24 § 3.1 Решение типовых примеров....................... 24 §3.2 Задачи для самостоятельного решения............ 26 Глава 4. Условные вероятности 28 §4.1 Определения и примеры.......................... 28 § 4.2 Решение типовых примеров................... 28 § 4.3 Задачи для самостоятельного решения........ 29 Глава 5. Независимые события 31 §5.1 Решение типовых примеров....................... 31 §5.2 Задачи для самостоятельного решения............ 32 Глава 6. Независимые испытания 35 § 6.1 Формулы Бернулли........................... 35 §6.2 Решение типовых примеров....................... 36 § 6.3 Задачи для самостоятельного решения........ 37 3
Глава 7. Формула полной вероятности 39 § 7.1 Полная группа событий.......................... 39 § 7.2 Решение типовых примеров....................... 40 § 7.3 Задачи для самостоятельного решения............ 42 Глава 8. Распределения случайных величин 45 §8.1 Случайная величина и функция распределения ... 45 §8.2 Дискретное и абсолютно непрерывное распределения 46 § 8.3 Примеры распределений случайных величин....... 49 § 8.4 Генерирование случайных чисел ................. 55 §8.5 Решение типовых примеров....................... 56 § 8.6 Задачи для самостоятельного решения............ 61 Глава 9. Математическое ожидание 64 § 9.1 Определение и свойства......................... 64 §9.2 Моменты и дисперсия ........................... 68 § 9.3 Числовые характеристики случайных векторов .... 72 § 9.4 Решение типовых примеров....................... 73 §9.5 Задачи для самостоятельного решения............ 77 Глава 10. Предельные теоремы 80 § 10.1 Закон больших чисел......................... 80 § 10.2 Центральная предельная теорема.............. 82 § 10.3 Теорема Пуассона............................ 84 § 10.4 Решение типовых примеров.................... 89 § 10.5 Задачи для самостоятельного решения......... 93 Глава 11. Выборка. Оценивание параметров 95 § 11.1 Выборка и вариационный ряд................... 95 § 11.2 Эмпирическая функция распределения, гистограмма.......................... 96 § 11.3 Выборочные моменты .......................... 98 § 11.4 Статистики и оценки......................... 100 §11.5 Оценки методом моментов..................... 103 §11.6 Решение типовых примеров.................... 104 § 11.7 Задачи для самостоятельного решения......... 108 Глава 12. Оценки максимального правдоподобия. Сравнение оценок 111 § 12.1 Метод максимального правдоподобия........ 111 4
§ 12.2 Сравнение оценок: среднеквадратический подход........................... 112 § 12.3 Решение типовых примеров....................... 115 § 12.4 Задачи для самостоятельного решения............ 119 Глава 13. Статистическая обработка в пакете Excel 122 § 13.1 Пример статистической обработки............... 122 § 13.2 Задачи для самостоятельного решения........... 136 Глава 14. Интервальное оценивание 137 § 14.1 Определение доверительного интервала ........................ . . 137 § 14.2 Распределения, связанные с нормальным..................... . . 138 § 14.3 Точные доверительные интервалы......... . . 139 § 14.4 Асимптотические доверительные интервалы . . . . . 141 § 14.5 Решение типовых примеров............. . . 142 § 14.6 Задачи для самостоятельного решения....... . . 146 Глава 15. Проверка статистических гипотез 147 S 15.1 Статистические гипотезы .............. . . 147 § 15.2 Статистические критерии.............. . . 148 § 15.3 Критерии согласия.................. . . 150 § 15.4 Достигаемый уровень значимости ......... . . 151 § 15.5 Критерии согласия Колмогорова и х2 Пирсона . . . . 152 § 15.6 Решение типовых примеров............. . . 155 § 15.7 Задачи для самостоятельного решения....... . . 159 Глава 16. Регрессионный анализ 161 § 16.1 Линейная регрессия.................. . . 161 § 16.2 Критерий Дарбина-Ватсона............. . . 163 § 16.3 Обобщенный МНК.................. . . 163 § 16.4 Модель авторегрессии ................ . . 164 § 16.5 Модель скользящего среднего ........... . . 164 § 16.6 Оценивание моделей с зависимыми остатками . . . . 165 § 16.7 Задачи для самостоятельного решения....... . . 166 Глава 17. Марковские цепи и процессы 168 § 17.1 Цепи Маркова. Эргодическая теорема....... . . 168 § 17.2 Марковские процессы ................ . . 170 § 17.3 Процессы размножения и гибели.......... . . 171 5
§17.4 Задачи для самостоятельного решения....... 171 Глава 18. Типовой расчет 173 Приложение. Таблицы 233 6
Глава 1 Случайный эксперимент, события § 1.1. События, операции над событиями Теория вероятностей изучает математические модели случайных экспериментов. Под случайным подразумевается такой эксперимент, исходы которого неоднозначно определяются начальными условиями. Простейшим примером такого эксперимента является подбрасывание монеты. В этом эксперименте возможны лишь два исхода: выпадение «герба» или «решетки», — при этом точно предсказать результат до проведения эксперимента невозможно. Со всяким случайным экспериментом можно связать множество Q = {ш} всех его взаимоисключающих исходов. Это множество называют пространством элементарных исходов, а его элементы элементарными исходами. Результатом проведения случайного эксперимента является некоторый элементарный исход ш G Q. Событиями называют подмножества пространства элементарных исходов Q. Выражение «произошло событие А» означает ш G A, г де ш — элементарный исход, явившийся результатом эксперимента. Любое «событие» в обычном понимании, то есть любой исход случайного эксперимента, может быть представлено некоторым подмножеством A С Q при подходящем выборе пространства элементарных исходов. В дальнейшем не будем различать «события» в обычном понимании и события — подмножества Q. Событие называется достоверным, если в результате эксперимента оно непременно происходит; событие называется невозможным, если в результате эксперимента оно не может произойти; событие называется случайным, если в результате эксперимента оно может произойти, а может не произойти. Так как для любого элементарного исхода ш соотношение ш G Q имеет место всегда, то все пространство Q соответствует достоверному событию, пустое множество 0 — невозможному событию, 7
собственные подмножества A с Q представляют случайные события. Пусть А и В какие-нибудь события (подмножества Q). Объединением, или суммой, этих событий называется объединение A U B множеств А и В. Пересечением или произведением событий называется их теоретико-множественное пересечение . Аналогично, разностью событий А и В называется разность A\B соответствующих множеств. Противоположным к событию А называется дополнение A = Q \ A множества А. Появление события A U B в результате эксперимента означает, что элементарный исход и G A U B , а это имеет место, если и G A ил и и G B. Поэтому можно сказать, что объединение (сумма) событий происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий. Аналогично, пересечение (произведение) событий происходит тогда и только тогда, когда эти события происходят совместно. Вазность A \ B событий происходит тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Противоположное событие A происходит тогда и только тогда, когда само А не происходит. Говорят, что событие А влечет событие В , или А содержится в В, если А является подмножеством В: A С B. События называются равными, или эквивалентными, если они совпадают как множества: A = B. Очевидно, что A = B тогда и только тогда, когда каждое из этих событий влечет другое. Объединение и пересечение более чем двух событий определяются аналогично, т.е. как объединение и пересечение соответствующих подмножеств. Например, n ОО U Aₖ П Bn k =1 n =1 означают соответственно объединение конечного и пересечение бесконечного (счетного) множества событий. События называют непересекающимися, или несовместными, если их пересечение есть невозможное событие. События из некоторой совокупности A 1 ,A₂,...,Aₙ,... называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны, т.е. Ai П Aj = 0 пр и i = j. Поскольку введенные операции над событиями тождественны соответствующим операциям над множествами, то они подчиняются всем аксиомам операций над множествами: A U B = B U A, A П B = B П A (коммутативность); 8
A U (B U C) = (A U B) U C), A n (B n C) = (A n B) n C) (ассоциативность); An(BUC) = (AnB)U(AnC), AU(BnC) = (AUB)n(AUC) (дистрибутивность); Ua„ = px, P|An = uAₙ (двойственность); (A)= A (отрицание отрицания). Заметим в заключение, что для обозначения введенных операций объединения (суммы), пересечения (произведения), разности событий используются также традиционные алгебраические символы: «+», «•», « —»: A U B = A + B, A n B = AB, A \ B = A — B, [[ Ak = XX Ak. k=1 k=1 § 1.2. Решение типовых примеров Пример 1.1. Случайный эксперимент состоит в однократном подбрасывании игральной кости - правильного кубика с нанесенными на гранях числами от 1 до И Обозначим через Иₖ исход, состоящий в появлении на верхней грани числа к. Тогда в качестве пространства элементарных исходов можно взять множество Q = { И1, И₂, И₃, И₄, И, Иб }. Пример 1.2. Рассмотрим случайный эксперимент из предыдущего примера. Введем следующие «события»: А = { выпадение четного числа}, В = {выпадение числа, меньшего 3}, С = {выпадение дробного числа}. При выборе пространства элементарных исходов из примера 1.1 указанные «события» очевидным образом представляются множествами: A = {И2, И, Иб}, B = {И1, И2}, C = 0. Пример 1.3. Случайный эксперимент - двукратное подбрасывание игральной кости. Построить подходящее пространство элементарных исходов Q для описания следующих событий: А = {оба раза выпало число очков, кратное трем}, В = {сумма выпавших чисел не больше 12}, С = {выпали одинаковые числа}, D = {произведение выпавших чисел делится на 14/. Найти подмножества Q, образующие эти события, указать достоверные, невозможные и случайные события. 9
Решение. Поскольку результатом эксперимента является пара чисел, выпавших на верхней грани при первом и втором подбрасывании игральной кости, то в качестве пространства элементарных исходов естественно выбрать множество всех упорядоченных наборов из двух чисел, каждое из которых может принимать любое из натуральных значений от 1 до 6, т.е. Q = {(i,j) : i = 1, ■.., 6, j = 1,..., 6}. Тогда указанные события совпадают со следующими подмножествами Q : A = {(3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6)}; B = Q; C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5), (6, 6)}; D = ®. Событие В достоверно, так как оно происходит при любом элементарном исходе (i,j) Е Q, событие D невозможно (если бы оно могло произойти, то какое-нибудь из двух выпавших чисел должно делиться на 7), события А и С случайны. v ¹ § 1.3. Задачи для самостоятельного решения 1.1 Что означают события A U A и A П A? 1.2 Когда возможно равенство A П B = A ? 1.3 События: A — хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, B — все приборы доброкачественные. Что означают события: а) A U B; б) A П B? 1.4 Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, наудачу выбирают одного. Пусть событие А заключается в том, что выбранный студент окажется юношей; событие В в том, что он не курит, а событие С - в том, что он живет в общежитии. Описать событие ABC. Когда справедливы: а) равенство ABC = A; в) равенство A = B; б) включение C с B; г) равенство B = B? 1.5 Рабочий изготовил п деталей. Пусть событие Ai состоит в том, что i-я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что: а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) хотя бы одна деталь имеет дефект; в) ровно одна деталь имеет дефект; г) не более двух деталей имеют дефекты; д) по крайней мере две детали не имеют дефектов; ¹ Конец решения или доказательства. 10
е) точно две детали дефектны. 1.6 Преподаватель проводит занятия с группой из трех студентов. Событие А — первый студент потребует внимание преподавателя в течение часа; В — второй студент потребует внимание преподавателя в течение часа; С — третий студент потребует внимание преподавателя в течение часа. Что означают события: а) АВС; б) A + B + C; в) AB C + ABC + A BC; г) ABC + ABC + ABC; д) ABC- e) A + B + C - ABC ? 1.7 Событие A — хотя бы одно из четырех имеющихся изделий бракованное, событие B — бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события A и B? 1.8 Совместны ли события A и A U B? 1.9 Доказать тождества: а) (A + BC)(B + AC)( C + AB )= ABC + ABC. в) (A - B) + (A - C) = A - BC. _____ 1.10 Доказать, что следующие события достоверны: а) (A + B)(A + B) + (A + B)(A + B); 6) (A + B)(A + B) + (A + B)(A + B). _ __________ 1.11 Доказать, что событие (A + B)(A + B)(A + B)(A + B) невозможно. 1.12 Установить какие из следующих соотношений правильны: а) (A + B) \ C = A + (B \ C); д) ABC = AB(B + C); б) (A + B)C = ABC-, e) (A + B)C = AC + BC; в) A + B + C = ABC-, ж) ABC c A + B; r) (A + B)C = C \ C(A + B); з) (AB + BC + CA) c (A + B + C). 1.13 Из таблицы случайных чисел наудачу выбрано одно число. Событие A — выбранное число делится на 5; собьггие B — данное число оканчивается нулем. Что означают события A\B иА П B? 11
Глава 2 Классическое вероятностное пространство §2.1. Вероятностное пространство, классическое определение вероятности Пусть пространство элементарных исходов конечно, то есть Q = {оу, о>2,..., aN}. При этом вероятность любого события А вычисляется по формуле: P( A) = NA, (2-1) где N(A) — число элементарных исходов, образующих событие А, N = N(Q) — число всех элементарных исходов. Равенство (2.1) называют классическим определением вероятности. Из этого определения легко следует, что Ml. P(Q)=1 и P(A) > 0 для любого иодмножества A С Q; М2, для любых попарно несовместных множеств A 1, A₂,... выполняется равенство P(U°=1 Ai) = Y1Pi P(Ai) (свойство о-аддитивности). Более того, о всякой функции заданной на множестве подмножеств из Q и обладающей свойствами Ml и М2 мы в дальнейшем будем говорить как о вероятностной мере. В частности, из свойств АП и AI2 вытекают следующие очень полезные свойства вероятности. 1. P(A) = 1 - P(A). A Если A С B,tо P(B \ A) = P(B) - P(A). 3. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB). Докажем первое равенство. Поскольку события A и A не пересекаются, 12
при этом A U A = Q, то, используя свойства Ml и М2, получаем 1 = P(Q) = P(A U A) = P(A) + P(A), откуда собственно и получается требуемое равенство. Докажем второе равенство. Т.к. A С B, то B = (B \ A) |J A. При этом события B \ An A не пересекаются, поэтому, при меняя свойство М2, получаем P( B) = P( B \ A) + P( A), поэт ому и P( B \ A) = P( B) - P( A). Так же просто доказывается и третье равенство. Для этого достаточно заметить, что A U B = (A \ AB) U AB U (B \ AB). Множества A \ AB, AB и B \ AB попарно не пересекаются, следовательно, применяя М2 и второе соотношение, получаем P(A U B) = P(A \ AB) + P(AB) + P(B \ AB) = P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB). §2.2. Элементы комбинаторики Пусть имеется конечное множество S = {а ₁, a 2,... ,aₙ}, которое будем называть генеральной совокупностью, а число его элементов n - объемом генеральной совокупности. Определение 2.1. Выборкой объема k из генеральной совокупности объема n называется упорядоченный набор k3 k элементов генераль-so'ij, совокапнасти S : (aj 1, aj₂,..., ajₖ). Выборка называется выборкой с возвращением, если она может содержать повторяющиеся (одинаковые) элементы, или выборкой без возвращения, если все ее элементы различны. Например, семизначный номер телефона представляет выборку объема 7 из генеральной совокупности объема 10 (количество цифр от 0 до 9). Поскольку цифры в номере могут повторяться, это выборка с возвращением. Названия трех карт, извлеченных по порядку из колоды, образуют выборку без возвращения объема 3 из генеральной совокупности всех карт колоды, например: (туз треф, туз бубей, дама пик). Заметим, что названия «выборка с возвращением» и «выборка без возвращения» отражают процесс извлечения выборок из генеральной совокупности: извлекая по порядку каждый элемент выборки с возвращением, 13
мы его отмечаем и возвращаем в генеральную совокупность. При извлечении выборки без возвращения, элементы в генеральную совокупность не возвращаются. Для выборки без возвращения распространено и другое название: размещение из n элементов по к. Выборки с возвращением называют также размещениями с повторениями. Теорема 2.1. Число всех выборок с возвращением (или число размещений n повторениями) из n элементов по к обозначается БП и вычисляется формулой: БП = nk. (2.2) Число всех выборок без возвращения (шш число размещений) пз n элементов по к обозначается Akₜ и ли, n [k ] и вычисляется по формуле: A-n = n[k] = n • (n — 1) • • • (n — к + 1) = -yyr. (2.3) (n — к )! Доказательство. Извлечение выборки из генеральной совокупности можно представить как процесс заполнения следующей таблицы: I aj 1 I aj 2 | aj 3 I ••• | ajk-1 | ajk | При этом, если речь идет о выборке с возвращением, то первую клетку таблицы можно заполнить n способами, поскольку на месте элемента aj 1 может оказаться любой из n элементов генеральной совокупности; вторую клетку также можно заполнить n способами, поскольку элемент aj₂ извлекается из полной генеральной совокупности. Таким образом, число способов, которыми можно заполнить пару из двух первых клеток, равно n • n = n². Рассуждая аналогично, можно сказать, что три клетки заполняются n³ способами, а вся таблица из к клеток может быть заполнена числом способов, равным nk. Это и есть число всех выборок с возвращением. Выведем теперь вторую формулу. Поскольку речь идет о выборке без возвращения, то первую клетку таблицы можно заполнить n способами; вторую соответственно n — 1 способом, т.к. элемент, который мы поставили в первую клетку использоваться уже не может и т.д. и, наконец, к-ую клетку таблицы можно заполнить n — к +1 способами. Поскольку каждый способ заполнения 1-ой клетки свободно комбинируется со всеми способами заполнения 2-ой клетки и т.д. до к-ой клетки, то получаем An = ⁿ (ⁿ — ¹⁾... (ⁿ — к ⁺ ¹⁾= (П-к)!. C Пример 2.1. Случайный эксперимент состоит в произвольном размещении к различимых шаров no n ящикам (к < n). Предполагается, 14