Математические модели термомеханики

Зарубин В.С.
Кувыркин Г.Н.






                Математические модели термомеханики









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 536
ББК 22.25, 22.317
     3 34

Г Г Издание осуществлено при поддержке г* сфри Российского фонда фундаментальных ~ JJ исследований по проекту 02-01-14О46д








   Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели термомеханики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 168 с. — ISBN 5-9221-0321-0.

   Изложены основные подходы к построению математических моделей сплошной среды на основе современных представлений термодинамики необратимых процессов. Главным образом внимание уделено рассмотрению общности построения моделей термоупругой сплошной среды, линейной жидкости, термовязкоупругой и термопластической сред на основе представлений о сплошных средах скоростного типа, средах с внутренними параметрами состояния и средах с памятью.
   Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов технических университетов, специализирующихся в области механики сплошной среды и математического моделирования.
  Ил. 15. Библиогр. 19 назв.



























ISBN 5-9221-0321-0

© ФИЗМАТЛИТ, 2002

        СОДЕРЖАНИЕ



Предисловие .................................................... 5

ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
     B.L   Газ и жидкость....................................... 7
     В.2.  Твердое кристаллическое тело ....................... 13
     В.З.  Твердое аморфное тело ...............................23
     В.4.  Основные гипотезы, предмет и методы тсрмомсхапики .... 26

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
     1.1. Ортогональные тензоры ................................29
     1.2. Тензорные поля. Дифференцирование и интегрирование тензоров 35

2. ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ
   И НАПРЯЖЕНИЙ
     2.1. Эйлеров и лагранжев способы описания движения сплошной среды......................................................39
     2.2. Тензоры деформации при эйлеровом и лагранжевом способах описания движения сплошной среды...........................41
     2.3. Тензор малой деформации. Условия совместности деформаций . 44
     2.4. Геометрический смысл компонентов тензоров малой деформации 50
     2.5. Кинематические характеристики сплошной среды .........53
     2.6. Массовые, объемные и поверхностные силы...............56
     2.7. Тензоры напряжений при различных способах описания движения сплошной среды ........................................... 57
     2.8. Тензоры напряжений при малых деформациях..............60

3. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
     3.1. Основные понятия термодинамики необратимых процессов . . 63
     3.2. Закон сохранения массы ...............................65
     3.3. Закон сохранения количества движения..................66
     3.4. Закон сохранения момента количества движения..........69
     3.5. Закон сохранения энергии .............................71
     3.6. Второй закон термодинамики............................74
     3.7. Основные подходы к построению математических моделей в механике сплошной среды .....................................78
     3.8. Условия па поверхности сильного разрыва ..............85

Содержание

4. ЛИНЕЙНАЯ ТЕРМОУПРУГАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА
      4.1. Классическая термоупругость...........................91
      4.2. Теория температурных напряжений ......................97
      4.3. Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния . . 103
      4.4. Термоупругая сплошная среда скоростного типа ........109

5. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИ
      5.1. Жидкость как сплошная среда скоростного типа ........114
      5.2. Идеальная жидкость...................................117
      5.3. Некоторые особенности движения вязкой несжимаемой жидкости 121
      5.4. Вязкая жидкость как сплошная среда с памятью ........123

6. ЛИНЕЙНАЯ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА
      6.1. Тсрмовязкоупрутая среда скоростного типа ............126
      6.2. Тсрмовязкоупрутая среда, зависящая от скорости изменения тензора напряжений ...........................................130
      6.3. Тсрмовязкоупрутая среда с внутренним параметром состояния . 133
      6.4. Тсрмовязкоупрутая среда с памятью ...................137
      6.5. Ограничения па функции релаксации и частные случаи термовязкоупругой среды с памятью..................................142

7. ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА
      7.1. Условия текучести и условия упрочнения...............145
      7.2. Определяющие уравнения для термоупрутопластической среды . 151
      7.3. Деформационная теория тсрмопластичпости .............156
      7.4. Термопластическая сплошная среда с памятью...........161
Список литературы ............................................. 167

        ПРЕДИСЛОВИЕ



               Большинство технологических процессов и рабочих процессов в технических устройствах можно трактовать с позиций механики сплошной среды как совокупность процессов переноса массы, количества движения и энергии, сопровождающихся преобразованием энергии, а нередко — и фазовыми переходами. Такие процессы принято называть термомеханическими. Интенсификация рабочих и технологических процессов приводит к большим плотностям потоков энергии и массы, к значительной скорости их изменения. Достоверность и полнота анализа работоспособности и эффективности таких устройств существенным образом зависят от обоснованного выбора адекватных математических моделей термомеханических процессов. При разработке этих моделей необходимо совместно рассматривать теоретические положения механики сплошной среды и термодинамики необратимых процессов, составляющие основу научного направления, которое получило название термомеханики.
   В данной книге предпринята попытка последовательного изложения основ термомеханики и путей построения математических моделей процессов в конструкционных материалах и технических устройствах. При написании книги использован материал курсов, которые читают авторы в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана. Основной особенностью изложенного в книге подхода является введение в математические модели рассматриваемых сред внутренних параметров состояния. Это позволяет связать макроскопическое поведение сплошной среды с процессами, протекающими на микроуровне, и расширяет возможности построения адекватных математических моделей достаточно сложных и существенно нестационарных термомеханических процессов. При таком подходе наряду с законами сохранения массы, количества движения и энергии используются соотношения термодинамики необратимых процессов, которые устанавливают структуру уравнений, включающих внутренние параметры состояния среды и скорости их изменения во времени.
   Книга включает введение и семь глав. Во введении изложены элементы физической механики применительно к таким состояниям среды, как газ, жидкость, кристаллическое и аморфное твердые тела, и сформулированы основные гипотезы и предмет термомеханики, а в первой главе приведены используемые далее в книге понятия и соотношения тензорного исчисления. Вторая глава посвящена описанию движения и деформирования сплошной среды и изложению теории напряжений. Законы сохранения физических субстанций и основы термодинамики необратимых процессов рассмотрены в третьей главе. В остальных четырех главах методы термомеханики применены к построению линейных математических моделей жидкости, термоупругой и термовязкоупругой сплошных сред, а также нелинейных моделей термоупругопластической среды.

Предисловие


   Авторы благодарны экспертам Российского фонда фундаментальных исследований за положительную оценку содержания книги. Они будут признательны всем, кто выскажет свои замечания по этой книге, которые можно направить по адресу: 105005, Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра прикладной математики, или e-mail: fn2@sm.bmstu.ru.

        ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ



              В.1. Газ и жидкость. Газом называют агрегатное состояние вещества, в котором его частицы не связаны или очень слабо связаны силами взаимодействия и движутся хаотически, заполняя весь предоставленный им объем. Любое вещество можно перевести в газообразное состояние, подобрав соответствующие величины давления р и температуры Т. Возможную область существования газообразного состоя
ния изображают в переменных р — Т (рис. В.1). При температуре ниже критической Гк эта область ограничена кривыми сублимации (возгонки) I и парообразования II. Последнее означает, что при любом значении давления ниже критического рк существует температура Т, выше которой вещество становится газообразным. При температурах ниже температуры Гр тройной точки газ может находиться в равновесии с твердой фазой вещества (на кривой I), а между тройной и крити

ческой точкой К — с жидкой фазой. Газ в этом состоянии называют паром вещества. При Т > Тк граница газообразной области условна, так как при

этих температурах превращения не происходят.
   В связи с тем, что область газового состояния очень обширна, свойства газов при изменении температуры и давления могут меняться в широких пределах. Так, в нормальных условиях (Г = 273 К, р « 0,1 МПа) плотность

газа примерно в тысячу раз меньше плотности того же вещества в твердом или жидком состоянии.
   В молекулярно-кинетической теории газ рассматривают как совокупность слабо взаимодействующих частиц, находящихся в непрерывном хаотическом (тепловом) движении. У достаточно разреженных газов среднее расстояние между молекулами значительно больше (на порядок) радиуса действия сил межмолекулярного взаимодействия. В таких условиях молекулы взаимодействуют лишь при сближении на расстояние действия межмолекулярных сил и, следовательно, общий объем, в котором эти силы могут сказываться, составляет «0,001 от полного объема газа. Это позволяет считать объем молекул газа в нормальных условиях пренебрежимо малым и рассматривать молекулы как материальные точки. Если эти материальные точки рассматривают как невзаимодействующие друг с другом, то такая модель соответствует модели идеального газа.
   При тепловом равновесии идеального газа все направления движения его молекул равновероятны, а их скорости подчиняются распределению

Введение. Элементы физической механики

Максвелла (рис. В.2). Подавляющее большинство молекул имеют значения скорости и, близкие к наиболее вероятной ин, соответствующей максимуму этого распределения при данной температуре. Однако существует некоторая часть молекул с меньшими и большими скоростями. Распределение Максвелла позволяет определить сред
нюю квадратичную скорость молекул v = х/г^, связанную с температурой Т соотношением

               — ЗкТ
                         , m

(В-1)

где к « 1,38 • 10 ²³ Дж/К — постоян

ная Больцмана; m — масса молекулы.
   Уравнение (В. 1) устанавливает связь между средней кинетической энергией одной молекулы и температурой газа:

= |feT. (В.2)
   Молекулярно-кинетическая теория

                               рассматривает давление газа р на стенки сосуда, в котором он находится, как воздействие ударов молекул, усредненное по поверхности и по времени. Количественно давление газа опреде

ляется импульсом, передаваемым молекулами в единицу времени единице площади стенки:

1 —
» = -nmr 3

(В.З)

где п — число молекул в единице объема.
   Уравнения (В.2) и (В.З) дают возможность записать уравнение состояния идеального (совершенного) газа в виде
                    р = пкТ или pVfₗ = RT,                   (В.4)
где R = kN — универсальная газовая постоянная, — объем, приходящийся на один моль газа, N — число молекул в одном моле (число Аво-гадро). Уравнение (В.4) называют уравнением Клапейрона (Клапейрона-Менделеева).
   Кинетические свойства газов — диффузию, вязкость, теплопроводность — молекулярно-кинетическая теория рассматривает с единой точки зрения: диффузию как перенос массы молекулами, вязкость как перенос молекулами количества движения и, наконец, теплопроводность как перенос ими энергии.
   Модель идеального газа для анализа явлений переноса непригодна, так как в этих процессах определяющую роль играют столкновения молекул и их линейные размеры, влияющие на частоту столкновений. Однако

В.1. Газ и жидкость

9

первостепенное значение имеет средняя длина свободного пробега молекулы — среднее расстояние, проходимое молекулой газа между двумя ее столкновениями в условиях термодинамического равновесия.
   Рассмотрим свободный пробег как расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями. Эту величину называют средней длиной свободного пробега Максвелла:


где d— диаметр молекулы. Средняя длина свободного пробега 1г, молекулы с величиной скорости v равна


1г, =                            (В.5)

где
о ₌ z ф / ПГ\ (m/2kT) v \ V 2fcT /
                                         X
Ф(.т) = ,тсхр(—х²) + (2.т + 1) |схр(—у'²) dy. о
В этом случае
4 /I Г ₌ V 7г \vj >
\ у/к V J
   Соотношение (В.6) получено из анализа вероятности столкновения в единицу времени молекулы, имеющей скорость v, с молекулой, имеющей скорость v’ G [0,оо).
   Эффект вязкости проявляется лишь тогда, когда в газе имеются неодинаковые макроскопические скорости. В газах расстояние между молекулами существенно больше радиуса действия межмолекулярных сил, поэтому вязкость газов — следствие хаотического движения молекул, в результате которого происходит обмен молекулами между движущимися друг относительно друга слоями газа. Это приводит к переносу от слоя к слою определенного количества движения, в результате чего медленные слои ускоряются, а более быстрые замедляются. Следовательно, применение теории равновесных явлений к неравновесному процессу переноса возможно лишь при условии, что отклонение от равновесного состояния мало. Если молекулы представляют собой упругие сферы диаметром <7, то коэффициент вязкости газа у определяют по формуле
ОО г/ = -пт | vf(y)lᵥ dv, ° о

Введение. Элементы физической механики

       >   ( т \³/?² ₍     2    ( т 2 А___________     ____
где f(v) = (------I 4тги схр (---------v I , и далее, используя соотноше            \2тгкТ/             \ 2кТ /
ния (В.5) и (В.6), можно показать, что

2m
Зу/тйР

ОО
Г а^схрС-аг)^
J Ф(^)       ' "
о

(В-7)

   Соотношение (В.7) имеет сравнительно большую погрешность, так как оно не учитывает влияние сохраняемости скорости при столкновении молекул на процесс переноса количества движения. Более точные вычисления дают
77 = 0,461^-.                     (В.8)
у2тга   Формула (В.8) выведена для упругих сферических молекул. Она показывает, что г] не зависит от плотности газа. Очевидно, что такой результат имеет место только для разреженных газов.
   При изучении теплопроводности в газах полагают, что молекула, имеющая скорость v и кинетическую энергию Е, проходя без столкновений расстояние Z, переносит энергию Е. Движение молекул происходит таким образом, что перенос энергии осуществляется из области с большей энергией в область с меньшей энергией, т. е. из области с высокой температурой в область с низкой температурой. Тогда теплопроводность

А⁽Т) ⁼                            (В-9)

где су = <1Ё/dT — молекулярная теплоемкость при постоянном объеме; Е — средняя энергия молекул, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения теплоты.
   Очевидно, что формула (В.9) является приближенной, так как она учитывает только энергию, связанную с поступательным движением молекул, и не учитывает информацию об обмене энергией между поступательными и вращательными степенями свободы для многоатомных молекул.
   Отметим, что для многоатомных молекул равнораспределение энергии между вращательными и поступательными степенями происходит довольно быстро. Передача энергии на колебательные степени свободы, число которых зависит от структуры молекул, как правило сильно запаздывает. Такое запаздывание можно приближенно описать с помощью релаксационного уравнения:
тд-^=ёд.-ед.,                     (В. 10)
at
где ед. — энергия А--й степени свободы молекулы, соответствующая А--й форме ее собственных колебаний; ёд- — равновесное (установившееся) значение этой энергии; тд- — время релаксации.

В.1. Газ и жидкость

11

   Для поступательных степеней свободы Дж. Максвеллом была предложена формула

                              Т - Ч р которая для воздуха при Т = 273 К и т] = 0,172 • 10⁻² Н • с/м² дает значение тп = 1,7 • 1О⁻¹⁰ с.
   В отличие от идеального для реального газа силы межмолекулярного взаимодействия существенны. Для описания свойств реального газа применяют различные уравнения состояния, отличающиеся от уравнения Клапейрона-Менделеева. Одним из таких уравнений является уравнение Ван-дер-Ваальса:

(ч-»)=7гт,

(В-11)

где а/Т/² —внутреннее давление, обусловленное силами притяжения между молекулами; Ъ — поправка на собственный объем молекул, учитыва ющая 2 й,г „
действие сил отталкивания между молекулами. Ъ = -тгс/ Л. Величина а 3
определена формулой

ОО
а = —2тгЛ’² | П'п(.г).г² dx, d
где И п 0 — потенциальная энергия притяжения двух молекул.
   Среди сил межмолекулярного взаимодействия различают силы притяжения и отталкивания, имеющие электрическую природу. Силы притяжения, проявляющиеся на расстоянии г « 10⁻⁹ м, между центрами масс молекул называют ван-дер-ваальсовыми силами. Они являются причиной поправки на внутреннее давление в уравнении (B.l 1). Различают три вида ван-дер-ваальсовых сил:
   - ориентационные силы между двумя молекулами, обладающими дипольным моментом или моментами более высоких порядков; они ~ г~" и зависят от взаимной угловой ориентации электрических моментов. Для двух диполей с электрическим моментом Рс усредненная по всем ориентациям диполей сила

,     47? 1
/оР =       ;
kT г
   - индукционные силы, вызванные индуцированной поляризацией молекулы, находящейся в электрическом поле другой молекулы. Усредненная по всем ориентациям диполя сила


f = -А2пР² —
/ИНД —       е ,
Г⁷
где а — поляризуемость молекулы; Ре — аЕ — дипольный момент молекулы, индуцированный электрическим полем напряженности Д

Введение. Элементы физической механики

   - дисперсионные силы, действующие между неполярными молекулами. Поскольку в атомах и молекулах электроны движутся сложным образом, то в среднем по времени дипольные моменты неполярных молекул равны нулю, однако их мгновенные значения могут быть отличны от нуля. Мгновенный диполь создает электрическое поле, поляризующее соседние молекулы, и вследствие этого возникает взаимодействие соседних молекул. Энергия взаимодействия неполярных молекул есть средний результат взаимодействия таких мгновенных диполей. Сила притяжения между двумя молекулами в этом случае

/лисп — а 3      ,
2    7"
где I — потенциал ионизации атома или молекулы, который характеризует

прочность связи электрона в атоме или молекуле.
   На расстояниях г 10⁻¹⁰м между центрами молекул возникает квантовое обменное взаимодействие между нейтральными атомами, приводящее или к сильному притяжению с образованием химической связи, или к

возникновению значительных сил отталкивания.

   Силы отталкивания убывают с увеличением расстояния между центра

ми молекул по закону

/от

1
р-п

где п 9, т. е. значительно быстрее, чем силы притяжения. Область пространства, в которой существенно проявляются силы взаимодействия данной молекулы с другими частицами, называют сферой ее молекулярного действия.
   Очевидно, что явления вязкости и теплопроводности в реальных газах достаточно сложны. Однако можно ожидать, что перераспределение импульсов и энергии между различными степенями свободы молекул реального газа будут подчиняться уравнению типа (В. 10).
   Жидкостью называют агрегатное состояние вещества, промежуточное между газообразным и твердым. Жидкость сохраняет свой объем, образует поверхность раздела фаз и обладает некоторой прочностью при растяжении. Расстояние между молекулами жидкости существенно меньше, чем у газа, поэтому небольшое изменение этого расстояния приводит к появлению значительных сил межмолекулярного отталкивания. Последним и обусловлена малая сжимаемость жидкости. Обычные жидкости изотропны, за исключением жидких кристаллов, анизотропия которых связана с преобладанием у них в микрообъемах определенной ориентации молекул.
   В жидкостях существует ближний порядок — упорядоченное относительное расположение соседних частиц жидкости внутри малых ее объемов. Молекулы жидкости совершают тепловые колебания около положений равновесия со средней частотой 1 /т₀, близкой к частотам колебаний атомов в кристаллах, и амплитудой, определяемой объемом, предоставляемым молекуле ее соседями. По истечении времени т щ эти положения равновесия смещаются на расстояния «1О⁻¹⁰ м. Среднее (по совокупности