Теория функций комплексной переменной

А.Г. СВЕШНИКОВ, А.Н. ТИХОНОВ





                ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ





ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ


Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических специальностей и специальности “Прикладная математика”













МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 201 0



�ДК 517.5
ББК 22.161.5
      С24

    С в е ш н и к о в А. Г., Т и х о н о в А. Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб.: Для вузов. — 6-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 336 с. — (Курс высшей математики и математической физики.) — ISBN 978-5-9221-0133-2 (Вып. 5).
    Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете Московского государственного университета. В книге изложена теория функций комплексной переменной и операционного исчисления. Приведены примеры применения методов теории функций комплексной переменной. Даны основные понятия теории функций многих комплексных переменных.
    Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Физика» и «Прикладная математика».
    Ил. 60.


























ISBN 978-5-9221-0133-2 (Вып. 5)
ISBN 978-5-9221-0134-9

(О ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2005, 2010



�ГЛАВЛЕНИЕ

От редакторов серии................. 9
Предисловие к пятому изданию....... 10
Предисловие к третьему изданию..... 10
₌™„„...............................  п



Глава 1. Комплексная переменная и функции комплексной

          переменной................................. 13


    § 1. Комплексное число и действия пад комплексными числами . .
        1. Понятие комплексного числа (13). 2. Действия пад комплексными числами (13). 3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел (15). 4. Извлечение корпя из комплексного числа (17).
    § 2. Предел последовательности комплексных чисел...........
        1. Определение сходящейся последовательности (19). 2. Критерий Коши (21). 3. Бесконечно удаленная точка (21).

   § 3. Понятие функции комплек-пой переменной. Непрерывность . .
       1. Основные определения (23). 2. Непрерывность (25). 3. Примеры (28).

   § 4. Дифференцирование функции комплексной переменной . . . .
       1. Определение. Условия Коши-Римапа (33). 2. Свойства аналитических функций (36). 3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной (37). 4. Примеры (39).

   § 5. Интеграл по комплек-пой переменной..................
       1. Основные свойства (41). 2. Теорема Коши (44). 3. Неопределенный интеграл (47).

    § 6. Интеграл Коши........................................
       1.  Вывод формулы Коши (50). 2. Следствия из формулы Коши (52). 3. Принцип максимума модуля аналитической функции (53).

     7. Интегралы, зависящие от параметра.....................
       1. Аналитическая зависимость от параметра (56). 2. Существование производных всех порядков у аналитической функции

13




19


23


33



41


50



56

          (58).



ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 2. Ряды аналитических функций.......................... 61
   § 1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной 61
       1. Числовые ряды (61). 2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость (63). 3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса.(65). 4. Несобственные интегралы,

       зависящие от параметра (69).
   § 2. Степеппые ряды. Ряд Тейлора.......................... 70
       1. Теорема Абеля (70). 2. Ряд Тейлора (75).
   § 3. Единственность определения аналитической функции..... 79

      1. Нули аналитической функции (79). 2. Теоремы единственности (79).
Глава 3. Аналитическое продолжение. Элементарные

функции комплексной переменной.................. 83
   § 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолжение с действительной оси............................... 83

       1. Продолжение с действительной оси (83). 2. Продолжение соотношений (87). 3. Свойства элементарных функций (91). 4. Отображения элементарных функций (94).
   § 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности 99 1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности (99).
       2. Аналитическое продолжение через границу (102). 3. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу (103). 4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степеппых рядов (108). 5.
       Правильные и особые точки аналитической функции (111). 6.

      Понятие полной аналитической функции (114).
Глава 4. Ряд Лорана и изолированные особые точки .... 116
   § 1. Ряд Лорапа.......................................116

       1. Область сходимости ряда Лорапа (116). 2. Разложение аналитической функции в ряд Лорапа (118).
   § 2. Классификация изолированных особых точек одпозпачпой ана
      литической функции...............................120
Глава 5. Теория вычетов и их приложения................128

   § 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке 128 1. Определение формулы вычисления вычета (128). 2. Основная теорема теории вычетов (130).
   § 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов . . 133 2тг
       1. Интегралы вида j 7?.(cos 0, sin(9) М. (134). 2. Интегралы ви
       да f f(x)dx (135). 3. Интегралы вида f e'uxf(x)dx. Лемма

       Жордапа (138). 4. Случай многозначных функций (144).
   § 3. Логарифмический вычет................................150
       1. Понятие логарифмического вычета (150). 2. Подсчет числа пулей аналитической функции (151).



�ГЛАВЛЕНИЕ

7

Глава 6. Конформное отображение...........................155
   § 1. Общие свойства....................................155
      1. Определение конформного отображения (155). 2. Простейшие примеры (159). 3. Основные принципы (163). 4. Теорема Римапа (168).
   § 2. Дробпо-лилейная функция...........................171
   § 3. Функция Жуковского................................181
   § 4. Интеграл Шварца-Кристоффеля. Отображение многоугольников ...................................................184
Глава 7. Применение аналитических функций к решению краевых задач.............................................193
   § 1. Общие положения...................................193
      1. Связь аналитических и гармонических функций (193). 2. Сохранение оператора Лапласа при копформпом отображении (194). 3. Задача Дирихле (196). 4. Построение функции источника (199).
   § 2. Приложения к задачам механики и физики............201
      1. Плоское установившееся движение жидкости (201). 2. Плоское электростатическое поле (212).
Глава 8. Основные понятия операционного исчисления . . . 221
   § 1. Определения и осповпые свойства преобразования .Лапласа . . 221
      1. Определение преобразования Лапласа (221). 2. Изображение элементарных функций (226). 3. Свойства изображения (228).
      4. Таблица свойств изображений (236). 5. Таблица изображений (236).
   § 2. Определение оригинала по изображению..............238
      1. Формула Меллипа (238). 2. Условия существования оригинала (241). 3. Вычисление интеграла Меллипа (244). 4. Случай регулярной па бесконечности функции (249).
   § 3. Решение задач для лилейных дифференциальных уравнений операционным методом...................................261
      1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (261). 2. Уравнение теплопроводности (257). 3. Краевая задача для уравнения в частных производных (258).
Приложение 1. Метод перевала .............................261
      1. Вводные замечания (261) . 2. Метод Лапласа (264). 3. Метод перевала (272).
Приложение 2. Метод Винера—Хопфа..........................281
      1. Вводные замечания (281). 2. Аналитические свойства преобразования Фурье (286). 3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов (288). 4. Общая схема метода Випера-Хопфа (293). 5. Задачи, приводящие к иптеграль-пым уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов (298). 5.1. Вывод уравнения Милна (298). 5.2. Исследование решения уравнения Милла (302). 5.3. Дифракция па плоском



ОГЛАВЛЕНИЕ

      экране (306). 6. Решение краевых задач для уравнения в частных производных методом Випера-Хопфа (307).

Приложение 3. Функции многих комплексных переменных 312

       1. Основные определения (312). 2. Понятие аналитической функции многих комплексных перемеппых (313). 3. Формула Коши (315). 4. Степеппые ряды (316). 5. Ряд Тейлора (318). Аналитическое продолжение (319).

П р и л о ж е и и е 4. Метод Ватсона....................323
Литература .............................................331
Предметный указатель....................................332



�Т РЕДАКТОРОВ СЕРИИ

  Настоящая книга представляет собой пятый выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики» и посвящена изложению основ теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. В книге также даны примеры применения методов теории функций комплексной переменной к задачам гидродинамики и электростатики, разобраны некоторые вопросы метода перевала и метода Винера-Хопфа.



�РЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ


   Четвертое издание этой книги, являющейся пятым выпуском

серии «Курс высшей математики и математической физики»,

вышло в свет в 1979 г. Поскольку последние двадцать лет книга использовалась как основной учебник по курсу теории функV            V X V   X   X V
ций комплексной переменной не только на физическом факуль

тете МГУ, но и во многих других вузах, она стала библиографической редкостью, а имеющиеся в учебных библиотеках эк

земпляры пришли в практическую негодность. Поэтому можно только приветствовать инициативу Издательской фирмы «Наука. Физматлит» РАН, предложившей настоящее, пятое, переиздание данного учебника.
   Чтя память моего учителя и соавтора этой книги академика РАН Андрея Николаевича Тихонова, скончавшегося 7 октября 1993 г. , я решил не вносить никаких изменений в текст предыдущего издания, вышедшего еще при жизни Андрея Николасвича.



Июнь 1998 г.

А. Г. Свешников


ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ


изложения, добавлен лексной переменной

   В третьем издании книги устранены замеченные неточности ряд приложений теории функций комп-(несобственные интегралы, зависящие от параметра, преобразование Ватсона и т. д. ), дано представление об основных понятиях теории функций многих комплексных переменных.
   Мы глубоко благодарны редактору этой книги С. Я. Секерж-Зеньковичу, работа которого способствовала улучшению ее содержания.


Авторы



�РЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ


   Содержание этого выпуска в основном соответствует курсу лекций по теории функций комплексной переменной, читавшемуся авторами в течение ряда лет на физическом факультете

МГУ.

   Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций

действительной переменной.
   Естественно, что стремление к цельности изложения заставило рассмотреть отдельные вопросы несколько подробнее, чем обычно удается в рамках сжатой лекционной программы. В первую очередь это относится к общим принципам конформного отображения и применения методов теории функций комп

лексной переменной к решению краевых задач гидродинамики и электростатики. Кроме того, в книге имеются два при

ложения, посвященные изложению метода перевала и метода Винера-Хопфа, которыми физики весьма широко пользуются.
   При работе над книгой мы пользовались советами многих


наших товарищей по кафедре, в первую очередь В. А. Ильина


и Д. П. Костомарова. Большую помощь оказали многочисленные и важные замечания, сделанные Г. Л. Лунцем и М. В. Фе


дорюком, прочитавшими книгу в рукописи, а также тщательное редактирование текста книги, проведенное С. Я. Секерж-Зсньковичсм. Всем этим лицам мы выражаем самую искреннюю благодарность.


Авторы



�ВЕДЕНИЕ

   В настоящем выпуске излагаются основные понятия теории функций комплексной переменной. Понятие комплексного числа возникло в первую очередв в результате потребностей автоматизации вычислений. Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел. Как известно, не всякое алгебраическое уравнение может быть разрешено в действительных числах. Тем самым надо или отказаться от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможностей их применения, или расширить область действительных чисел с тем, чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким расширением области действительных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является тот факт, что основные математические операции над комплексными числами не выводят из области комплексных чисел.
   Введение комплексных чисел и функций комплексной переменной удобно так же при интегрировании элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. часто приходится выходить в область комплексных чисел,

плексная форма записи оказывается удобной и при математической формулировке многих физических положений (например, в электро- и радиотехнике, электродинамике и т. д. ).
   Один из основных классов функций комплексной переменной — аналитические функции — находится в тесной связи с решениями уравнения Лапласа, к которому приводятся многие задачи механики и физики. Поэтому методы теории функций комплексной переменной нашли весьма широкое и эффективное применение при решении большого круга задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, электродинимики и других естественных наук.

,/ДС
Ком-



�ЛАВА 1

КОМПЛЕКСНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Комплексное число и действия над комплексными числами


   1.   Понятие комплексного числа. Мы считаем, что с понятием комплексного числа и определением арифметических действий над комплексными числами читатель уже знаком. Комплексные числа и действия над ними изложены в предыдущих выпусках курса Ч. Однако из соображений цельности изло

жения имеет смысл еще раз напомнить основные понятия.
   Комплексным числом z называется пара действительных чисел (а, Ь") с установленным порядком следования, чисел, а и Ь. Это условно записывается в виде z = (а, Ь). Первое число а пары (а, Ь) называется действительной частью комплексного числа z и обозначается символом а = Re г; второе число Ь пары (а, Ь) называется м;нимой частью комплексного числа z и обознача

ется символом b = Im z.
   Два комплексных числа z\ = (ai,bi) и z-2 = (агДг) равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т. е. когда а± = а-2 и Ь± = &2   2.    Действия над комплексными числами. Перейдем к определению алгебраических операций над комплексными чис

лами.
   Сулш,ой комплексных чисел z\ = («i, b\) и z-2 = (агДг) называется такое комплексное число z = (а, Ь), для которого а = = а± + U2, b = bi + б?- Легко видеть, что при таком определении сохраняются переместительный и сочетательный законы сложения, т. е. Zi + z-2 = z-2 + Zi и Zi + (z₂ + Z3) = (zi + Z2) + z₃. Так же, как и в области действительных чисел, нулем называется


   ) См. выл. 1.



ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛ. 1

такое комплексное число 0, сумма которого с любым комплексным числом z равна этому числу г, т. е. г + 0 = z. Очевидно, что существует единственное комплексное число 0 = (0,0), обладающее этим свойством.
   Произведением: комплексных чисел z\ = (ax,&i) и z-2 = = («2,^2) называется такое комплексное число z = (а, &), для которого а = aia-2 — bib-2, b = aib-2 + a-2bi. При таком определении произведения выполняются переместительный (гхг₂ = -"л'-']), сочетательный (гх(г₂ ■ гз) = (гх • г₂)гз) и распределительный ((гх + г₂)г₃ = ziz₃ + г₂г₃) законы.
   Включим действительные числа в множество комплексных чисел, рассматривая действительное число а как комплексное число а = (а, 0). Тогда, как следует из определения действий

сложения и умножения, для комплексных чисел сохраняются известные правила действий над действительными числами.

Поэтому множество комплексных чисел рассматривается как расширение множества действительных чисел¹). Заметим, что умножение на действительную единицу (1,0) не меняет комплексного числа: z • 1 = z.

   Комплексное число вида z = (0, Ь) называется чисто мнимым и символически обозначается как z = ib. Чисто мнимое число (0, Ь) = ib можно рассматривать как произведение мнимой единицы (0,1) и действительного числа (&, 0). Мнимую единицу обычно обозначают символом (0,1) = i. В силу определе

ния произведения комплексных чисел справедливо соотношение i ■ i = i² = —1. Оно позволяет придать прямой алгебраический смысл так называемой алгебраической форме записи комплекс

ного числа

z = (а, Ь) = а + ib

(1-1)

и производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.
   Комплексное число ~z = а — ib называется комплексно сопряженным числу z = а + ib.
   Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число z = а + ib называется разностью комплексных чисел z\ = а± + ibi и г₂ = = а₂ + ib2, если а = а\ — а₂, b = Ь± — Ь₂.
   Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению. Комплексное число z = а + ib на

   ) Как будет следовать из дальнейших рассмотрений, множество комплексных чисел, в отличие от множества действительных чисел, пе обладает свойством упорядоченности, так как пе существует рациональной системы сравнения комплексных чисел.



� 1

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО

15

зывается частным, комплексных чисел z\ = а± + ib\ и z-2 = а-2 + + ?'&2 7^ 0, если z\ = z- z-2- Отсюда следует, что действительная а и мнимая Ь части частного z определяются из линейной системы алгебр аичсских ур авнений

0,20, — Ь-^Ъ = G1, &2<i + 0,2b = bi

с определителем г/фг/ф отличным от нуля. Решив эту систему, получим
_ zi _ «i«2 + bibi -bia-2 — «1
Z2 «2 + Ь|         «2 + Ь|
   3.    Геометрическая интерпретация комплексных чисел. При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация. Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изображение комплексного числа z = а + ib точкой плоскости ху с декартовыми координатами х = а и у = Ь. Число z = 0 ставится в соответствие началу координат данной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс — действительной, а ось ординат — мнимой осью комплексной плоскости. При этом, очевидно, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости, а также между множеством всех комплексных чисел z = а+ + ib и множеством свободных векторов, проекции х и у которых на оси абсцисс и ординат соответственно равны а и Ь.
   Весьма важной является также другая форма представления комплексных чисел. Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами (р, р), где р — расстояние точки от начала координат, ар — угол, который составляет радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс. Положительным направлением изменения угла р считается направление против часовой стрелки (—сю < р < сю). Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: х = pcos р, у = psinp, получим так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа:

                    z = p(cos р + i sinp).              (1.3)

При этом р обычно называют модулем, ар — аргументом комплексного числа и обозначают р = ф|,р = Arg г. Предшествующие формулы дают выражение действительной и мнимой частей комплексного числа через его модуль и аргумент. Легко выразить модуль и аргумент комплексного числа через его дей-



ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛ. 1

ствитсльную и мнимую части: р = \/а² + Ь², tg <р = - (при выборе из решений последнего уравнения значения следует учесть знаки а и Ь). Отметим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 2-тг. В ряде случаев удобно через arg z обозначать значение аргумента, заключенное в пределах <до С arg z < 2-тг + <до ■, где <До — произвольное фиксированное число (например, <до = О или <до = —7г). Тогда Arg г = arg г + 2к~ {к = 0, ±1, ±2, ...). Аргумент комплексного числа z = 0 вообще не определен, а его модуль равен нулю. Два отличных от нуля комплексных числа равны между собой в том и только в том случае, если равны их модули, а значения аргументов или равны, или отличаются на число кратное 2тг. Комплексно сопряженные числа имеют один и тот же модуль, а значения их аргументов при соответствующем выборе областей их изменения различаются знаком. Наконец, используя известную формулу Эйлера¹) el'p = cos <р + i sin <д, получаем так называемую показательную форму записи комплексного числа:

г = ре^. (1.4)

   Отмеченное выше соответствие между множеством всех комплексных чисел и плоскими векторами позволяет отождествить операции сложения и вычитания комплексных чи



сел с соответствующими операциями над векторами (рис. 1.1). При этом легко устанавливаются неравенства треугольника:



|^1 + ^| < Ы + |^2|, |^1 -       > Ы - |^21
(1-5)



Модуль разности двух комплексных чисел имеет геометрический смысл расстояния между соответствующими точками на комплексной плоскости. Отметим, кроме того, очевидные неравенства ф| > а, |г| > Ь.
   Для выполнения операции умножения удобно пользоваться тригонометрической формой представления комплексных чи

  ¹) Это выражение мы пока будем рассматривать как сокращенную форму записи комплексного числа z = cos + i sin у. Полный смысл этого обозначения будет установлен в дальнейшем.