УДК 621.315.592 ББК 22.379

У73

 

Горбатов С.С.

У73 Исследование оптимальных условий согласования на основе теории цепей постоянного тока: Учеб. пособие для студ. факультета нано – и биомедицинских технологий, обучающихся по направлению 550700 «Электроника и микроэлектроника» и специальностям 010600 «Физика твердого тела», 010400 «Физика», 014000 «Медицинская физика». 200100 «Материалы и компоненты твердотельной электроники», 014100 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы», 210104 «Микроэлектроника и твердотельная электроника», 202100 «Нанотехнология в электронике».

 

Учебное пособие представляет собой руководство к практическим занятиям по курсу "Теоретические основы радиоэлектроники". Содержит описание материала, знание которого необходимо при выполнении лабораторной работы по исследованию условий максимальной передачи мощности в линейных цепях постоянного тока.

 

Для студентов, обучающихся по направлению 550700 «Электроника и микроэлектроника» и специальностям 010600 «Физика твердого тела», 010400 «Физика», 014000 «Медицинская физика», 200100 «Материалы и компоненты твердотельной электроники», 014100 «Микроэлектроника и полупроводниковые приборы», 210104 «Микроэлектроника и твердотельная электроника», 202100 «Нанотехнология в электронике».

 

Рекомендуют к опубликованию:

Кафедра физики твердого тела физического факультета

Саратовского государственного университета, профессор, доктор физико-математических наук А. В. Скрипаль

 

 

УДК 621.315.592 ББК 22.379

ISBN 5-292-03602-1                       © Горбатов С.С., 2008

Саратовский государственный университет, 2008

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Теоретическая часть

§1. Законы Кирхгофа.

§2. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа.

§3. Энергетический баланс в электрических цепях.

§4. Метод пропорциональных величин.

§5. Метод контурных токов.

§6. Принцип наложения и метод наложения.

 

Практическая часть

Электрическая схема

Порядок выполнения задания 1

Порядок выполнения задания 2

Список литературы

 

Теоретическая часть

 

§1. Законы Кирхгофа. Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам (правилам) Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю;

2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих от узла токов.

Рис.1

Так, применительно к рис. 1, если подтекающие к узлу токи считать положительными, а утекающие ‑ отрицательными, то согласно первой формулировке

согласно второй ‑

.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Если мысленно рассечь любую схему произвольной плоскостью и все находящееся по одну сторону от нее рассматривать как некоторый большой «узел», то алгебраическая сумма токов, входящих в этот «узел», будет равна нулю.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической  сумме з. д. с. вдоль того же контура:

(в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

 

Оглавление

 

§2. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа.

Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в, число ветвей, содержащих источники тока, —вит и число узлов — у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется в — вит. Перед тем как составлять уравнения, необходимо произвольно выбрать:

а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;

б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т. е. .

Уравнение для последнего -го узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для  узлов, поскольку в эту сумму входили бы дважды и с противоположными знаками токи ветвей, не подходящих к -му узлу, а токи ветвей,  подходящих к -му узлу, входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение для -го узла.

По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока (в — вит ), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е. .

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.

Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.

Оглавление

 

§3. Энергетический баланс в электрических цепях.

При протекании токов по сопротивлениям в последних выделяется тепло. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания.

Если направление тока , протекающего через источник э. д. с. , совпадает с направлением э. д. с, то источник э. д. с. доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную , и произведение  входит с положительным знаком в уравнение энергетического баланса.

Если же направление тока  встречно направлению э. д. с. , то источник э. д. с. не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение  войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании только от источников э. д. с. имеет вид

.

Когда схема питается не только от источников э. д. с., но и от источников тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи источников тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток  от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна . Напряжение  и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника тока. Общий вид уравнения энергетического баланса

Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем метод расчета цепей по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы.

Оглавление

 

§4. Метод пропорциональных величин.

Согласно методу пропорциональных величин, в самой удаленной от источника э. д. с. ветви схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током, например током в 1 А. Далее, продвигаясь к входным зажимам тп, находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения  схемы и токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.

Так как найденное значение напряжения  в общем случае не будет равно э. д. с. источника, то следует во всех ветвях изменить токи, умножив их на коэффициент, равный отношению э. д. с. источника к найденному значению напряжения в начале схемы.

Метод пропорциональных величин, если рассматривать его обособленно от других методов, применим для расчета цепей, состоящих только из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений и при наличии в схеме одного источника.

Однако этот метод можно использовать и совместно с другими методами (преобразование треугольника в звезду, метод наложения и т. п.), которые рассмотрены далее.

Оглавление

 

§5. Метод контурных токов.

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

Следовательно, метод контурных токов более экономен при вычислительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньшее число уравнений).

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 3, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток , а в правом (также по часовой стрелке) — контурный ток . Для каждого из контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением ) течет сверху вниз ток . Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

 

 

Рис. 3

Для первого контура

(a)

или

(б)

Для второго контура

или

В уравнении (б) множитель при токе , являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через , множитель при токе  (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) ‑ через .

Перепишем эти уравнения следующим образом:

 (1')

Здесь

;;;

;,

где  ‑ полное или собственное сопротивление первого контура;  ‑ сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус;  ‑ контурная э.д.с. первого контура, равная алгебраической сумме э.д.с. этого контура (в нее со знаком плюс входят те э.д.с, направления которых совпадают с направлением обхода контура);  ‑ полное или собственное сопротивление второго контура;  ‑ сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус;  ‑ контурная э.д.с. второго контура.

В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k и т контурами  входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов  и  вдоль этой ветви противоположны, и со знаком плюс, если направления этих токов одинаковы.

Если в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом:

(1")

или в матричной форме:

;

; ; .

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например все по часовой стрелке.

Если в результате решения системы уравнений какой-либо контурный ток окажется отрицательным, то это означает, что в действительности направление контурного тока обратно принятому за положительное.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями ,  схемы рис. 3), найденный контурный ток является истинным током. В смежных ветвях через контурные токи определяют истинные. Например, в ветви с сопротивлением  протекающий сверху вниз ток равен разности .

Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно п.

Общее решение системы п уравнений относительно тока  таково:

, (2)

где

 (3)

— определитель системы.

Алгебраическое дополнение  получено из определителя  путем вычеркивания k-го столбца и m-й строки и умножения полученного определителя на (-1)k+m.

Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что , то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали .

Формула (2) в ряде параграфов используется в качестве исходной при  рассмотрении таких важных вопросов теории линейных электрических цепей, как определение входных и взаимных проводимостей ветвей, принцип взаимности, метод наложения и линейные соотношения в электрических цепях.

 

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками э.д.с. и сопротивлениями, и что эти токи известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами.

Оглавление

 

§6. Принцип наложения и метод наложения.

Чтобы составить общее выражение для тока в k-ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы k-ветвь входила только в один k-контур (это всегда возможно).

Тогда ток в k-ветви будет равен контурному току  по уравнению (2). Каждое слагаемое правой части (2) представляет собой ток, вызванный в k-ветви соответствующей контурной э.д.с. Например,  есть составляющая тока k-ветви, вызванная контурной э.д.с. . Каждую из контурных э.д.с. можно выразить через э.д.с. ветвей  сгруппировать коэффициенты при этих э.д.с. и получить выражение следующего вида:

(4)

Если контуры выбраны таким образом, что какая-либо из э.д.с, например , входит только в один m-контур и в другие контуры не входит, то .

Уравнение (4) выражает собой принцип наложения.

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k-ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из э.д.с. схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей.

Принцип наложения используется в методе расчета, получившем название метода наложения.

При расчете цепей по методу наложения поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из э.д.с, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока ().

Так, если через некоторое сопротивление  протекают согласно направленные частичные токи  и , то выделяемая в нем мощность  и не равна сумме мощностей от частичных токов: .

Уравнение баланса мощности .

Оглавление

 

 

Практическая часть

 

Электрическая схема

 

Электрическая схема находится в файле «Схема 7». Она представляет собой линейный четырехполюсник со сложной внутренней структурой. В схеме имеется источник напряжения, подключенный на входе и приборы, измеряющие ток и напряжение в ветви, содержащей выходное сопротивление.

 

Порядок выполнения задания 1.

 

В файле «Схема 7» (сохранить файл на компьютер и открыть, используя программу Electronic Workbench 512) изменяя сопротивление с номиналом 20 Ом в пределах от 20 Ом до 10000 Ом нарисовать график функции изменения мощности в данном диапазоне сопротивлений, используя показания вольтметра и амперметра, умножая ток на напряжение. Зависимость произведения тока на напряжение и является искомой зависимостью мощности, выделяемой в сопротивлении нагрузки. Экстремум данной функции достигается при сопротивлении, равном выходному сопротивлению исходного линейного четырехполюсника со сложной внутренней структурой. Его необходимо найти.

 

Порядок выполнения задания 2.

 

Изменить номиналы входящих в схему сопротивлений.

Повторить порядок выполнения задания 1.

Оглавление

 

Литература.

1.     Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть1.Сигналы. Линейные системы с постоянными и переменными параметрами. М. Советское радио. 1968г. 408с. ил

2.      Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники, ч. I. Линейные электрические цепи. — М.: Энергия, 1978.

3.     Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. — М.: Радио и связь, 1986.

4.     Теоретические основы электротехники, т. 1. Основы теории линейных цепей / Под ред. П. А. Ионкина. — М.: Высшая школа, 1976.

5.     Теория линейных электрических цепей/Под ред. И. Г. Кляцкина. — М.: Высшая школа, 1973.

6.     Лосев А. К. Линейные радиотехнические цепи.— М.: Высшая школа, 1971.

7.     Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. — М.: Высшая школа, 1981.