Певец (тенор) и педагог. Дебютировал в Киевском оперном театре (1882). В течение двух сезонов (1885-1886 и 1891-1892) пел на сцене Большого театра. Гастролировал в провинции. В 1898-1901 гг. с выдающимся успехом концертировал в Северной Америке и Канаде. Обладал голосом редкой красоты и силы, отличной певческой школой и ярчайшим драматическим дарованием. Первым исполнил партию Германа в опере "Пиковая дама" (1890). С 1901 г. преподавал пение в Музыкально-драматическом училище Московского филармонического общества, с 1905 - в Киевской, с 1912 - Саратовской консерваториях. В 1887 и 1897 гг. Медведев гастролировал в Саратове. В связи с открытием в 1912 году консерватории был приглашен в Саратов на работу в качестве профессора сольного пения. Преподавал вплоть до 1925 года, воспитал известных певцов. Среди них знаменитые Г. Пирогов, Л. Русланова, Ф. Мухтарова и др. За большие заслуги в деле подготовки специалистов высокого профессионального уровня Медведеву было присуждено звание заслуженного профессора. Ценный вклад внес в историю Саратовской оперы. В 1914 г. он выехал в Киев для организации оперной труппы для Саратова. 10 февраля 1915 г. руководимая им антреприза открыла свой театральный сезон. Всего было проведено 40 спектаклей с исполнением 20 оперных произведений, из которых наибольшим успехом пользовались "Демон" Рубинштейна, "Жизнь за царя" Глинки, "Риголетто" Верди, "Пиковая дама" Чайковского (в роли Германа выступал сам М. Е. Медведев) и др. В октябре 1918 г. организовал в Саратове постоянный оперный театр, почетным директором которого был на протяжении ряда лет. Умер и похоронен в Саратове.