Математика

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1996 г.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Казанский государственный технологический университет


Ю.М. ДАНИЛОВ, Л.Н. ЖУРБЕНКО, Г.А. НИКОНОВА, Н.В. НИКОНОВА, С.Н. НУРИЕВА





МАТЕМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ




Под редакцией
Л.Н.Журбенко, Г.А. Никоновой



Допущено
            Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальности






Москва ИНФРА-М 2009

   УДК 51(075.8) ББК 22.1 я73
        М34

Р е ц е н з е н т ы:
         д-р физ.-мат. наук, проф., заведующий кафедрой общей математики КГУ Н.Г. Гурьянов;
          д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики КГАСА БА. Кац;
Заслуженный работник высшего образования РФ, д-р физ.-мат. наук, проф., заведующий кафедрой специальной математики КГТУ К.Г. Гараев

         Математика: Учеб, пособие / Ю.М. Данилов, Л.Н. Жур-М 34 бенко, Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, С.Н. Нуриева; Под ред. Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 496 с. — (Высшее образование).
         ISBN 5-16-002673-8
         Учебное пособие для студентов технических высших учебных заведений, обучающихся по программе бакалавров в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

© Коллектив авторов, 2006
ISBN 5-16-002673-8                    © ИНФРА-М, 2006


Редактор Г.Н Богдасарова Корректор Н.Д. Фадеева
        Оригинал-макет подготовлен Издательским Домом «ИНФРА-М»
            Сдано в набор 21.03.2005. Подписано в печать 26.01.2006.
             Формат 60x90/16. Гарнитура Newton. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 31,0. Уч.-изд. л. 30,91. Тираж 3000 экз.
Заказ № Цена свободная.
ЛР№ 070824 от 21.01.93
Издательский Дом «ИНФРА-М». 127282, Москва, Полярная, 31в.
            Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43; Факс: (495) 363-92-12.
E-mail: books@infra-m.ru. http://www.infra-m.ru

Отдел «Книга — почтой»: (495) 363-42-60 (доб. 246, 247)

ПРЕДИСЛОВИЕ


   В учебном пособии представлен материал, позволяющий студенту получить тот объем знаний, который соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для бакалавров технического направления.
   Основной принцип, который использован авторами при написании учебного пособия, можно сформулировать так: учебное пособие должно выступать в роли «организатора» систематической познавательной деятельности студента, «компаса в море» учебной информации, накопленной человечеством.
   При отборе материала для включения в учебное пособие авторы придерживались условия минимальности объема при достаточности информации, содержащейся в нем. Весь материал разбит на четыре части, 13 глав. Первые две части изучаются в течение первого года, третья и четвертая части — в течение второго года обучения в вузе. Материал рассчитан на объем 250—300 аудиторных часов. Авторы придерживаются принципов модульной технологии обучения, главы являются теоретической частью обучающих модулей, а их разделы — подмодулями (законченными по своему содержанию информационными дозами). Каждый подмодуль снабжен помещенным в его начале опорным конспектом, который отражает в сжатой форме основной смысл подмодуля и содержит необходимые сведения для практического применения материала подмодуля. Опорные конспекты позволяют получить целостное представление о содержании всего модуля, если читатель возвращается к ним после изучения соответствующего подмодуля и затем всего модуля. Применение опорных конспектов позволило также, по мнению авторов, более компактно и удобно для запоминания преподнести материал подмодулей. Предусмотрено рас

з

ширение объема подмодулей за счет отсылок к доступным библиографическим источникам.
   Основу учебного пособия составляет математический анализ (главы 2—4, 6, 8, 10) и его прикладные вопросы (главы 7, 9, 11). Первая глава посвящена линейной алгебре и аналитической геометрии и может излагаться в первом семестре параллельно дифференциальному исчислению. Понятия комплексных чисел, функций комплексных переменных даются в главе 5 второй части перед изложением интегрального исчисления. Теория вероятностей и математическая статистика содержатся в главе 12 четвертой части.
   Авторы при изложении материала придерживались дидактического принципа «от простого к сложному». Так, в подмодуле 2 изучение векторов начинается с пространств R², R³, с которыми студенты знакомились в школе, а затем переходит к пространству R". Понятия прямой и плоскости (подмодуль 3) также переносятся на пространство R". Следует отметить, что аналитическая геометрия дается как приложение векторной алгебры, и прямая на плоскости, в основном, — как частный случай прямой и плоскости в пространстве. Это позволило объединить данные подмодули в один модуль. Изложение дифференциального исчисления (главы 3,4), интегрального исчисления (главы 6, 8, 9) и дифференциальных уравнений (главы 7, 11) построено на переходе от одной переменной к нескольким переменным. В теории вероятностей (глава 12) рассматриваются сначала одномерные, а затем многомерные случайные величины. В главе 6 после изучения интеграла Римана приводятся его обобщения — интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега.
   Авторы стремились вводить математические понятия не формально, а предварительно рассматривая приводящие к ним физические и геометрические задачи или давая приложения введенных понятий. Рассматривается применение математических методов в математическом моделировании.
   Пособие содержит необходимое количество задач и упражнений, позволяющих читателю получить навыки правильного использования изученного материала и иллюстрирующих связь математики с другими дисциплинами.
   В подборе материала главы 12 принимал участие доцент Н.К. Нуриев, в подготовке учебного пособия к изданию — доцент О.М. Дегтярева. Авторы выражают им свою глубокую благодарность.

4

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

О      -  равносильность (эквивалентность)                    
л      -  и (конъюнкция)                                      
V      -  или (дизъюнкция)                                    
V      -  любой                                               
3      -  существует                                          
3!     -  существует и единственно                            
3      -  не существует                                       
^      -  следует                                             
       -  такое что                                           
------ -  стремится выполнять равенство                       
тт     -  параллельны и одинаково направлены                  
п      -  параллельны и противоположно направлены             
1      -  перпендикулярность                                  
Д, det -  определитель                                        
да     -  бесконечность, бесконечное множество                
N, Z,  Q, R, С --- множества натуральных, целых, рациональных,
          действительных, комплексных чисел соответственно    
R”     -  и-мерное векторное пространство с положительными    
          значениями элементов                                
R+     -  множество неотрицательных действительных чисел      
=      -  тождественно                                        
~      -  эквивалентно                                        
с      -  включает                                            
о      -  включает или равно                                  
€      -  принадлежит                                         
£      -  не принадлежит                                      
0      -  пустое множество                                    
О      -  объединение множеств                                
О      -  пересечение множеств                                
\      -  разность множеств                                   
•      -  отображение множеств, соответствие                  
------                                                        
•                                                             
о      -                                                      
•         взаимно-однозначное соответствие                    

5

О: ...   -   определение                                         
Т: ...■  -   теорема                                             
Л: ...♦  -   лемма                                               
□        -   начало доказательства                               
И        -   конец доказательства                                
◄        -   начало решения                                      
►        -   конец решения                                       
т.       -   точка                                               
гмт      -   геометрическое место точек                          
1°       -   свойство 1                                          
[]       -   целая часть числа                                   
{}       -   дробная часть числа, элементы множества             
             неопределенность                                    
1, п     -   все значения от 1 до п                              
б.м.     -   бесконечно малая функция                            
б.б.     -   бесконечно большая функция                          
э.       -   экстремум                                           
а = о(р) -   б.м. более высокого порядка малости по сравнению с р
D( f)    -   область определения функции                         
Е( f)    -   область допустимых значений функции                 
U6(fl)   -   дельта-окрестность т. a, U6 (а) = U6 (а)\{а}        
си       -   класс функций, непрерывных на множестве X           
с        -                                                       
[а,Ь]        класс функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]        
М        -   наибольшее значение функции на множестве            
m        -   наименьшее значение функции на множестве            
/’ф      -   суперпозиция функций/и ф                            
т.р.     -   точка разрыва                                       
т.п.     -   точка перегиба                                      
/        -   возрастает                                          
\        -   убывает                                             
о        -   выпуклый вверх (выпуклый)                           
о        -   выпуклый вниз (вогнутый)                            
X        -   диаметр ограниченной фигуры (тела)                  
Re       -   действительная часть числа                          
S        -   сумма                                               
!        -   факториал                                           
grad U   -   градиент скалярного поля U                          
div а    --- дивергенция векторного поля а                       

Часть 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
      ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ



        Излагаются основные вопросы теории определителей, матриц, систем линейных уравнений, векторной алгебры, линейных операторов, квадратичных форм. Включены основные сведения о прямой и плоскости, кривых и поверхностях II порядка. Излагается дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.



Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ


1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


    Опорный конспект № 1



      1.1. Определители, их свойства

           I а₁₁ а₁₂ ।
       А -1          I — квадратная матрица II порядка
           к а21 а22 )

а11

а21

а12
а22

⁻ апа22 - а21а12

— определитель II порядка

а11

а12

а13

А ⁻ а21

а22

а23

⁻ а11

а22

а23

а31

а32

а33

а32

а33

а12

а21   а23

а31   а33

+ 013

а21   а22

а31   а32

А = det А 


      определитель III порядка

7

      Свойства:
   I⁰. Транспонирование
   2°. Разложение по V ряду: det А = aᵢₗAᵢₗ + aᵢ₂Aᵢ₂ + aᵢ₃Aᵢ₃,
       Ay = (-l)! ⁺ ⁷ Mₜj — алгебраическое дополнение;
       Mₜj — минор элемента aⱼJ
   3°. Перестановка двух строк (столбцов) ^ смена знака Д
   4°. Условия равенства Д = °
   5°. Вынесение общего множителя ряда за знак Д
   6°. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число к ^ °, не меняет Д




       1.2.    Системы линейных уравнений. Методы Гаусса и Крамера


п                  ____
^ a^-х- = Д-, i = l, т

J

       несовместная



совместная

     определенная неопределенная
     (3! решение) (да много решений)


   Метод Гаусса — последовательное исключение неизвестных Расширенная матрица

       zа ll al2    .      ..   aln bl' 
(А\в)= a2l   a22    .    .. a2n      b  
       ...   ...       . .      ...  ...
       1 aml am2   .       ..   amn bm ,

~ матрице ступенчатого вида,

   число ее ненулевых строк = rang(A | 5).

8

   Формулы Крамера: т = п,

            a11 a12    .    .  Ъп                         
            a21 a22   .     .   a2п      А i              
А = det А = ... ...       . . ...   ф 0, Xj = ---, J = 1,п
                                         7 А              
            aп1 aп2   .     .   aпп                       

   Ду получается из А заменойу-го столбца столбцом свободных членов.



   1.3.    Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ


   А = (ay), Б = (by),   i = 1,т, j = 1,п,  А = В о а& = by
   Сложение матриц: С = А + В = (aᵢJ + bᵢJ)
   Умножение матрицы на число р: В = рА = (р ар
   Умножение матриц: А — размерности т х р, В — размерности р х п
С = А ■ Б = (алЬ1 у + ц ₂b, у +... + apbpj),


i = 1, т, j = 1, п, (АБ ф БА)


          ' 100...0⁷
    Е = 010...0
          ч000...1 ,

А = (aᵢⱼ), i, j = 1,п ^ АЕ = ЕА = А

   А ¹ — обратная к А = (aₜj), i, j = 1,п о АА ¹ = Е

     Т: А = (aᵢⱼ), i, j = 1, п,            det А ф 0 о ЗА⁻¹

А11

А'

А12

detJ

...

А21

А22

...

А2п

...

...

...

...

Ап2

...

Ап)

¹п

1

v А1п

5

      Ад — алгебраическое дополнение aᵢⱼ ■


      Матричная форма записи СЛАУ:
      АХ = Б, А = (ay), i, j = 1?п;
      X = (Xj), Б = (by) — матрицы-столбцы,

det А ф 0 ^ Х = А⁻¹Б

9

    1.1. Определители, их свойства


О: Квадратной матрицей и-го порядка называется таблица чисел

    ' а11 а12   ■ . а1и' 
А = а21   а22   . .   а2и
    ...    ... .  . ...  
    1 аи1 аи2 .   . аии) 

   Числа (а..), i, j = 1,и — элементы матрицы; i — номер строи
   ки;у — номер столбца.
   Определителем (детерминантом) II порядка, соответствующим квадратной матрице II порядка, называется число, обозначаемое символом

А = detA =

а11  й1₂
а21  а22

   и вычисляемое по правилу А = а₁₁ а₂₂ - а₂₁ а₁₂.
   Определителем III порядка, соответствующим квадратной матрице III порядка, называется число, вычисляемое по правилу


а11
а21
а31

А =

а12 а13
а22 а23
а32 а33

= а₁₁

а22
а32

а23
а33

а12

а21

а31

а23
а33

⁺ а13

а21
а31

а22
а32

(1.1)



Примеры:

1)

-1

= 2 ■ 5 - (-1) ■ 3 = 13.

2
3

5

10